Determine os modos naturais do sistema mostrado na Figura 5.18 quando k 1 = k 2 = k 3 = k .

Passo 1

Sejam R1, R2 e R3 as forças restauradoras nas molas. Equações de movimento de massa m nas direções x e y são

m x ¨ = ∑ i = 1 3   R i c o s ⁡ α i (E1)

m y ¨ = ∑ i = 1 3   R i s i n ⁡ α i (E2)

Em que R i = - k i x c o s ⁡ α i + y s i n ⁡ α i (E3)

Eq(E1) para E3 dão

m x ¨ + ∑ i = 1 3   k i x c o s 2 ⁡ α i + y s i n ⁡ α i c o s ⁡ α i = 0 (E4)

m y ¨ + ∑ i = 1 3   k i x s i n ⁡ α i c o s ⁡ α i + y s i n 2 ⁡ α i = 0 (E5)

Passo 2

Para α 1 = 45 ∘ , α 2 = 135 ∘ , α 3 = 270 ∘   e   k 1 = k 2 = k 3 = k , Eqs (E4) e (E5) reduz para

m x ¨ + k x = 0 (E6)

m y ¨ + 2 k y = 0 (E7)

Essas equações são desacopladas. Para movimento harmônico x ( t ) = X c o s ⁡ ( ω t + ϕ ) , y ( t ) = Y c o s ⁡ ( ω t + ϕ ) e, portanto

ω 1 = k m   p a r a   m o v i m e n t o   n a   d i r e ç ã o   x  

ω 2 = 2 k m   p a r a   m o v i m e n t o   n a   d i r e ç ã o   y

Modos naturais são dados por

x ( t ) = x c o s ⁡ k m t + ϕ 1

y ( t ) = Y c o s ⁡ 2 k m t + ϕ 2

Em que X , ϕ 1 , Y   e   ϕ 2 pode ser determinado a partir das condições iniciais

Resposta

Em que X , ϕ 1 , Y   e   ϕ 2 pode ser determinado a partir das condições iniciais

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