Determine o momento de iércia de massa I y da barra esbelta. A barra é feita de material de densidade variável ρ = ρ 0 ( 1 + x / l ) , onde ρ 0 é consoante. A área da seção transversal da barra é A . Expresse o resultado em termos da massa m da barra.

Enunciado

O problema pede que encontremos o momento de inércia de uma barra.

Primeiro, vamos pensar sobre a massa:

De forma derivada fica:

Então:

Agora, vamos calcular a massa usando calculo integral, com o que a gente acabou de descobrir no passo 1:

Resolvendo a integral, temos que:

Agora sim vamos para o momento de inércia no eixo , para isso a gente sabe que de forma derivada temos:

Ou seja:

Calculamos então, o momento de inércia pela integral:

Resolvendo, a gente encontra:

Está quase acabando, é que o problema está pedindo esse resultado em relação a massa, e sabemos que a massa é:

Então pode ser escrito como:

Logo: