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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 91

Determine o momento de iércia de massa I y da barra esbelta. A barra é feita de material de densidade variável ρ = ρ 0 ( 1 + x / l ) , onde ρ 0 é consoante. A área da seção transversal da barra é A . Expresse o resultado em termos da massa m da barra.

Passo 1

O problema pede que encontremos o momento de inércia I y de uma barra.

Primeiro, vamos pensar sobre a massa:

m = ρ ⋅ V

De forma derivada fica:

d m = ρ ⋅ d V = ρ 0 1 + x l ( A d x )

Então:

d m = ρ 0 A 1 + x l d x

Passo 2

Agora, vamos calcular a massa usando calculo integral, com o que a gente acabou de descobrir no passo 1:

m = ∫ d m = ∫ 0 l ρ 0 A 1 + x l d x

Resolvendo a integral, temos que:

m = 3 2 ρ 0 ⋅ A ⋅ l

Passo 3

Agora sim vamos para o momento de inércia no eixo y , para isso a gente sabe que de forma derivada temos:

d I y = ρ 0 A x 2 1 + x l d x

Ou seja:

d I y = p 0 A x 2 + x 3 l d x

Calculamos então, o momento de inércia pela integral:

I y = ∫ d I y = ∫ 0 l p 0 A x 2 + x 3 l d x

Resolvendo, a gente encontra:

I y = 7 12 p 0 A ⋅ l 3

Está quase acabando, é que o problema está pedindo esse resultado em relação a massa, e sabemos que a massa é:

2 3 m = p 0 A ⋅ l

Então I y pode ser escrito como:

I y = 7 12 ( p 0 A ) ⋅ l 2 = 7 12 2 3 m l 2

Logo:

I y = 7 18 m ⋅ l 2

Resposta

I y = 7 18 m ⋅ l 2

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