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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 90

Determine o momento de iércia de massa I x do cone circular direito e expresse o resultado em termos de massa m do cone. O cone tem uma densidade constante ρ .

Passo 1

O problema pede que encontremos o momento de inércia I x de um cone.

Primeiro, vamos pensar sobre a massa:

m = ρ ⋅ V

De forma derivada fica:

d m = ρ ⋅ d V = ρ π y 2 d x

E sabemos que:

y = r h x

Então:

d m = ρ π r 2 h 2 x 2 d x

Passo 2

Agora, vamos calcular a massa usando calculo integral, com o que a gente acabou de descobrir no passo 1:

m = ∫ d m = ∫ 0 h ρ π r 2 h 2 x 2 d x

Resolvendo a integral, temos que:

m = 1 3 ρ π ⋅ r 2 h

Passo 3

Agora sim vamos para o momento de inércia no eixo x , para isso a gente sabe que de forma derivada temos:

d I x = 1 2 d m ⋅ y 2

Ou seja:

d I x = 1 2 ρ π r 2 h 2 x 2 d x ⋅ r h x 2

Simplificando isso fica:

d I x = ρ π r 4 2 h 4 x 4 d x

Calculamos então, o momento de inércia pela integral:

I x = ∫ d I x = ∫ 0 h ρ π r 4 2 h 4 x 4 d x

Resolvendo, a gente encontra:

I x = 1 10 ρ π r 4 h

Está quase acabando, é que o problema está pedindo esse resultado em relação a massa, e sabemos que a massa é:

3 m = ρ π r 2 h

Então I x pode ser escrito como:

I x = 1 10 ρ π r 2 h r 2 = 1 10 3 m r 2

Logo:

I x = 3 10 m r 2

Resposta

I x = 3 10 m r 2

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