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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 89

Determine o momento de iércia de massa I z do cone formado girando a área sombreada em torno do eixo z . A densidade do material é ρ . Expresse o resultado em termos de massa m do cone.

Passo 1

Falaaaa galerinha do RespondeAí, tudo belezinha?

O problema pede que encontremos o momento de inércia I z de um solido de translação.

Primeiro, vamos pensar sobre a massa:

m = ρ ⋅ V

De forma derivada fica:

d m = ρ ⋅ d V = ρ π r 2   d z

E sabemos que:

r = y = r 0 - r 0 h z

Então:

d m = ρ π r 0 - r 0 h z 2 d z

Passo 2

Agora, vamos calcular a massa usando calculo integral, com o que a gente acabou de descobrir no passo 1:

m = ∫ d m = ∫ 0 h ρ π r 0 - r 0 h z 2 d z

Resolvendo a integral, temos que:

m = 1 3 ρ π ⋅ r 0 2 h

Passo 3

Agora sim vamos para o momento de inércia no eixo z , para isso a gente sabe que de forma derivada temos:

d I z = 1 2 d m ⋅ r 2

Ou seja:

d I z = 1 2 ρ π ⋅ r 2   d z r 2

Calculamos então, o momento de inércia pela integral:

I z = ∫ d I z = ∫ 0 h 1 2 ρ π r 0 - r 0 h z 4 d z

Resolvendo, a gente encontra:

I z = 1 10 ρ π r 0 4 h

Está quase acabando, é que o problema está pedindo esse resultado em relação a massa, e sabemos que a massa é:

3 m = ρ π r 0 2 h

Então I z pode ser escrito como:

I z = 1 10 ρ π r 0 2 h r 0 2 = 1 10 3 m r 0 2

Logo:

I z = 3 10 m r 0 2

Resposta

I z = 3 10 m r 0 2

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