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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 92

Determine o momento de iércia de massa I y do sólido formado girando-se a área sombreada em torno do eixo y . A densidade do material é ρ . Expresse o resultado em termos da massa m do sólido.

Passo 1

O problema pede que encontremos o momento de inércia I y de uma barra.

Primeiro, vamos pensar sobre a massa:

m = ρ ⋅ V

De forma derivada fica:

d m = ρ ⋅ d V = ρ π r 2 d y

E sabemos que:

r = 1 4 y 2

Então:

d m = ρ π 1 4 y 2 2   d y

Passo 2

Agora, vamos calcular a massa usando calculo integral, com o que a gente acabou de descobrir no passo 1:

m = ∫ d m = ∫ 0 2 ρ π 16 y 4   d y

Resolvendo a integral, temos que:

m = 2 5 ρ π

Passo 3

Agora sim vamos para o momento de inércia no eixo y , para isso a gente sabe que de forma derivada temos:

d I y = 1 2 d m ( r ) 2

Ou seja:

d I y = 1 2 ρ π r 2 d y r 2 = 1 2 ρ π r 4 d y

d I y = 1 2 ρ π 1 4 y 2 4 d y = ρ π 512 y 8 d y

Calculamos então, o momento de inércia pela integral:

I y = ∫ d I y = ∫ 0 2 ρ π 512 y 8 d y

Resolvendo, a gente encontra:

I y = π ρ 9

Está quase acabando, é que o problema está pedindo esse resultado em relação a massa, e sabemos que a massa é:

5 2 m = π ρ

Então I y pode ser escrito como:

I y = 1 9 5 m 2

Logo:

I y = 5 18 m

Resposta

I y = 5 18 m

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