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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 46

Determine o momento de inércia polar da área mostrada na figura em relação a ao ponto O , b ao centroide da superfície.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A estrutura foi dividida conforme a figura a seguir:

A forma pode ser obtida subtraindo a semi-elipse 3 e o semi-círculo 4 da semi-elipse 1 e o semi-círculo 2

Passo 2

O momento polar da zona com relação a O é dado por:

J O = J O 1 + J O 2 - J O 3 - J O 4

Portanto:

J O = π 8 a b a 2 + b 2 + π 4 b 4 - π 8 c d c 2 + d 2 - π 4 d 4

Como:

a = 42   m m

b = 84   m m

c = 27   m m

d = 54   m m

Substituindo estes valores na expressão encontraremos:

J O = 12,16 ⋅ 10 6   m m 4

Passo 3

O item b nos pede o momento polar com relação ao centroide da superfície. Temos que:

J O = J - C + A X - 2

Portanto:

J C - = J O - A X - 2

Precisamos então descobrir X - :

X - = ∑ x - A ∑ A

Construindo a seguinte tabela, temos que:

Portanto:

∑ A = 4,87 ⋅ 10 3   m m 2

∑ x - A = - 108,83 ⋅ 10 3   m m 3

Logo:

X - = - 22,35   m m

Passo 4

Agora é só substituir os valores:

J C - = 12,16 ⋅ 10 6 - 4,87 ⋅ 10 3 - 22,35 2

J C - = 9,727 ⋅ 10 6   m m 4

Resposta

a ) J O = 12,16 ⋅ 10 6   m m 4  

b ) J C - = 9,727 ⋅ 10 6   m m 4  

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