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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 36

Determine o momento de inércia da superfície sombreada mostrada na figura em relação aos eixos x e y quando a = 20   m m .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A estrutura foi dividida conforme a figura a seguir:

Temos que:

I x 1 = 1 8 π a 4

I x 1 = 62,832 ⋅ 10 3   m m 4

Por simetria sabemos que:

I x 3 = I x 1

Logo:

I x 3 = 62,832 ⋅ 10 3   m m 4

Passo 2

Considerando agora a área 2 , temos que:

I x 2 = 1 12 b h 3

I x 2 = 1 12 3 a 3 a 3

I x 2 = 1080 ⋅ 10 3   m m 4

O momento de inércia total sobre o eixo x é dado por:

I x = I x 2 - I x 1 - I x 3

I x = 1080 ⋅ 10 3 - 2 ⋅ 62,832 ⋅ 10 3

I x = 954,336 ⋅ 10 3   m m 4

Passo 3

Analisando o momento de inércia sobre o eixo y :

Temos que:

I y 1 = 1 8 π a 4

I y 1 = 62,832 ⋅ 10 3   m m 4

Consideranro a área 2 , temos:

I y 2 = 1 12 b 3 h + A 2 d 2 2

Substituindo os valores, temos que:

I y 2 = 1 12 3 a 3 3 a + 3 a 3 a 3 a - 1,5 a 2

I y 2 = 4320 ⋅ 10 3   m m 4

Passo 4

Considerando agora a área 3 , temos que aplicar o teorema dos eixos paralelos, portanto:

I y 3 = π 8 a 4 - π a 2 2 4 a 3 π 2 + π a 2 2 3 a - 4 a 3 π 2

I y 3 = 0,1098 a 4 + 10,4201 a 4

I y 3 = 1684,784 ⋅ 10 3   m m 4

O momento de inércia total sobre o eixo y é dado por:

I y = I y 2 - I y 1 - I y 3

I y = 4320 ⋅ 10 3   m m 4 - 62,832 ⋅ 10 3 - 1684,784 ⋅ 10 3

I y = 2572 , , 4 ⋅ 10 3   m m 4

Resposta

I x = 954,336 ⋅ 10 3   m m 4

I y = 2572 , , 4 ⋅ 10 3   m m 4

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