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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 84

Determine os momentos de inércia e o produto de inércia da seção transversal de cantoneira de L 127 × 76 × 12,7   m m do Problema 9.7 8 em relação a novos eixos centroidais obtidos por rotação dos eixos x e y de 45 ° no sentido anti-horário.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Temos que o momento de inércia em relação a x e y são dados por:

I x = 3,93 × 10 6   m m 4

I y = 1,06 × 10 6   m m 4

O produto de inércia, de acordo com o exercício 9 . 7 8 é dado por:

I x y = 1,165061 × 10 6   m m 4

Passo 2

Analisando a soma e a diferença entre os momentos de inércia, temos:

1 2 I x + I y = 1 2 3,93 × 10 6 + 1,06 × 10 6

1 2 I x + I y = 2,495 × 10 6   m m 4

E:

1 2 I x - I y = 1 2 3,93 × 10 6 - 1,06 × 10 6

1 2 I x - I y = 1,435 × 10 6   m m 4

Passo 3

De posse dos resultados anteriores podemos encontrar os momentos e produtos de inércia dos novos eixos devido a rotação.

I x ' = 1 2 I x + I y + 1 2 I x - I y cos ⁡ 2 θ - I x y sen ⁡ 2 θ

I x ' = 2,495 × 10 6 + 1,435 × 10 6 cos ⁡ 2 θ - 1,165061 × 10 6 sen ⁡ 2 θ

Temos também que:

I y ' = 1 2 I x + I y - 1 2 I x - I y cos ⁡ 2 θ + I x y sen ⁡ 2 θ

I y ' = 2,495 × 10 6 - 1,435 × 10 6 cos ⁡ 2 θ + 1,165061 × 10 6 sen ⁡ 2 θ

E:

I x ' y ' = 1 2 I x - I y sen ⁡ 2 θ + I x y cos ⁡ 2 θ

I x ' y ' = 1,435 × 10 6 sen ⁡ 2 θ + 1,165061 × 10 6 cos ⁡ 2 θ

Passo 4

Agora que temos as equações, é só aplicar nos ângulos desejados. Temos que θ = 45 ° :

I x ' = 2,495 × 10 6 + 1,435 × 10 6 cos ⁡ 90 ° - 1,165061 × 10 6 sen ⁡ 90 °

I x ' = 0,0995 × 10 6   m m 4

I y ' = 2,495 × 10 6 - 1,435 × 10 6 cos ⁡ 90 ° + 1,165061 × 10 6 sen ⁡ 90 °

I y ' = 3,66 × 10 6   m m 4

I x ' y ' = 1,435 × 10 6 sen ⁡ 90 ° + 1,165061 × 10 6 cos ⁡ 90 °

I x ' y ' = 1,435 × 10 6   m m 4

Resposta

I x ' = 0,0995 × 10 6   m m 4

I y ' = 3,66 × 10 6   m m 4

I x ' y ' = 1,435 × 10 6   m m 4

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