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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 80

Determine os momentos de inércia e o produto de inércia da superfície do Problema 9.72 em relação a novos eixos centroidais obtidos por rotação dos eixos x e y de 30 ° no sentido anti-horário.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Temos que o momento de inércia em relação a x e y são dados por:

I x = 68,96 × 10 6   m m 4

I y = 132,48 × 10 6   m m 4

O produto de inércia, de acordo com o exercício 9.72 é dado por:

I x y = 21,6 × 10 6   m m 4

Passo 2

Analisando a soma e a diferença entre os momentos de inércia, temos:

1 2 I x + I y = 1 2 68,96 × 10 6 + 132,48 × 10 6

1 2 I x + I y = 100,72 × 10 6   m m 4

E:

1 2 I x - I y = 1 2 68,96 × 10 6 - 132,48 × 10 6

1 2 I x - I y = - 31,76 × 10 6   m m 4

Passo 3

De posse dos resultados anteriores podemos encontrar os momentos e produtos de inércia dos novos eixos devido a rotação.

I x ' = 1 2 I x + I y + 1 2 I x - I y cos ⁡ 2 θ - I x y sen ⁡ 2 θ

I x ' = 100,72 × 10 6 + - 31,76 × 10 6 cos ⁡ 2 θ - 21,6 × 10 6 sen ⁡ 2 θ

Temos também que:

I y ' = 1 2 I x + I y - 1 2 I x - I y cos ⁡ 2 θ + I x y sen ⁡ 2 θ

I y ' = 100,72 × 10 6 - - 31,76 × 10 6 cos ⁡ 2 θ + 21,6 × 10 6 sen ⁡ 2 θ

E:

I x ' y ' = 1 2 I x - I y sen ⁡ 2 θ + I x y cos ⁡ 2 θ

I x ' y ' = - 31,76 × 10 6 sen ⁡ 2 θ + 21,6 × 10 6 cos ⁡ 2 θ

Passo 4

Agora que temos as equações, é só aplicar nos ângulos desejados. Temos que θ = 30 ° :

I x ' = 100,72 × 10 6 + - 31,76 × 10 6 cos ⁡ 60 ° - 21,6 × 10 6 sen ⁡ 60 °

I x ' = 103,5 × 10 6   m m 4

I y ' = 100,72 × 10 6 - - 31,76 × 10 6 cos ⁡ 60 ° + 21,6 × 10 6 sen ⁡ 60 °

I y ' = 97,9 × 10 6   m m 4

I x ' y ' = - 31,76 × 10 6 sen ⁡ 60 ° + 21,6 × 10 6 cos ⁡ 60 °

I x ' y ' = - 38,3 × 10 6   m m 4

Resposta

I x ' = 103,5 × 10 6   m m 4

I y ' = 97,9 × 10 6   m m 4

I x ' y ' = - 38,3 × 10 6   m m 4

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