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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 83

Determine os momentos de inércia e o produto de inércia da seção transversal de cantoneira de L 76 × 51 × 6,4   m m do Problema 9.7 4 em relação a novos eixos centroidais obtidos por rotação dos eixos x e y de 30 ° no sentido horário.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Temos que o momento de inércia em relação a x e y são dados por:

I x = 0,266 × 10 6   m m 4

I y = 0,453 × 10 6   m m 4

O produto de inércia, de acordo com o exercício 9 . 7 4 é dado por:

I x y = - 0,1596 × 10 6   m m 4

Passo 2

Analisando a soma e a diferença entre os momentos de inércia, temos:

1 2 I x + I y = 1 2 0,266 × 10 6 + 0,453 × 10 6

1 2 I x + I y = 0,3095 × 10 6   m m 4

E:

1 2 I x - I y = 1 2 0,266 × 10 6 - 0,453 × 10 6

1 2 I x - I y = - 0 , 1435 × 10 6   m m 4

Passo 3

De posse dos resultados anteriores podemos encontrar os momentos e produtos de inércia dos novos eixos devido a rotação.

I x ' = 1 2 I x + I y + 1 2 I x - I y cos ⁡ 2 θ - I x y sen ⁡ 2 θ

I x ' = 0,3095 × 10 6 + - 0,1435 × 10 6 cos ⁡ 2 θ - - 0,1596 × 10 6 sen ⁡ 2 θ

Temos também que:

I y ' = 1 2 I x + I y - 1 2 I x - I y cos ⁡ 2 θ + I x y sen ⁡ 2 θ

I y ' = 0,3095 × 10 6 - - 0,1435 × 10 6 cos ⁡ 2 θ + - 0,1596 × 10 6 sen ⁡ 2 θ

E:

I x ' y ' = 1 2 I x - I y sen ⁡ 2 θ + I x y cos ⁡ 2 θ

I x ' y ' = - 0,1435 × 10 6 sen ⁡ 2 θ + - 0,1596 × 10 6 cos ⁡ 2 θ

Passo 4

Agora que temos as equações, é só aplicar nos ângulos desejados. Temos que θ = - 30 ° :

I x ' = 0,3095 × 10 6 + - 0,1435 × 10 6 cos ⁡ - 60 ° - - 0,1596 × 10 6 sen ⁡ - 60 °

I x ' = 0,0995 × 10 6   m m 4

I y ' = 0,3095 × 10 6 - - 0,1435 × 10 6 cos ⁡ - 60 ° + - 0,1596 × 10 6 sen ⁡ - 60 °

I y ' = 0 , 5195 × 10 6   m m 4

I x ' y ' = - 0,1435 × 10 6 sen ⁡ - 60 ° + - 0,1596 × 10 6 cos ⁡ - 60 °

I x ' y ' = 0 , 0445 × 10 6   m m 4

Resposta

I x ' = 0,0995 × 10 6   m m 4

I y ' = 0,5195 × 10 6   m m 4

I x ' y ' = 0,0445 × 10 6   m m 4

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