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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 81

Determine os momentos de inércia e o produto de inércia da superfície do Problema 9.73 em relação a novos eixos centroidais obtidos por rotação dos eixos x e y de 60 ° no sentido anti-horário.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Temos que o momento de inércia em relação a x e y são dados por:

I x = 126,5625 π × 10 6   m m 4

I y = 253,125 π × 10 6   m m 4

O produto de inércia, de acordo com o exercício 9 . 73 é dado por:

I x y = 337,5 × 10 6   m m 4

Passo 2

Analisando a soma e a diferença entre os momentos de inércia, temos:

1 2 I x + I y = 1 2 126,5625 π × 10 6 + 253,125 π × 10 6

1 2 I x + I y = 189,84375 π × 10 6   m m 4

E:

1 2 I x - I y = 1 2 126,5625 π × 10 6 - 253,125 π × 10 6

1 2 I x - I y = - 63,28125 π × 10 6   m m 4

Passo 3

De posse dos resultados anteriores podemos encontrar os momentos e produtos de inércia dos novos eixos devido a rotação.

I x ' = 1 2 I x + I y + 1 2 I x - I y cos ⁡ 2 θ - I x y sen ⁡ 2 θ

I x ' = 189,84375 π × 10 6 + - 63,28125 π × 10 6 cos ⁡ 2 θ - 337,5 × 10 6 sen ⁡ 2 θ

Temos também que:

I y ' = 1 2 I x + I y - 1 2 I x - I y cos ⁡ 2 θ + I x y sen ⁡ 2 θ

I y ' = 189,84375 π × 10 6 - - 63,28125 π × 10 6 cos ⁡ 2 θ + 337,5 × 10 6 sen ⁡ 2 θ

E:

I x ' y ' = 1 2 I x - I y sen ⁡ 2 θ + I x y cos ⁡ 2 θ

I x ' y ' = - 63,28125 π × 10 6 sen ⁡ 2 θ + 337,5 × 10 6 cos ⁡ 2 θ

Passo 4

Agora que temos as equações, é só aplicar no ângulo desejado. Temos que θ = 60 ° :

I x ' = 189,84375 π × 10 6 + - 63,28125 π × 10 6 cos ⁡ 120 ° - 337,5 × 10 6 sen ⁡ 120 °

I x ' = 403,53 × 10 6   m m 4

I y ' = 189,84375 π × 10 6 - - 63,28125 π × 10 6 cos ⁡ 120 ° + 337,5 × 10 6 sen ⁡ 120 °

I y ' = 789,3 × 10 6   m m 4

I x ' y ' = - 63,28125 π × 10 6 sen ⁡ 120 ° + 337,5 × 10 6 cos ⁡ 120 °

I x ' y ' = - 340,92 × 10 6   m m 4

Resposta

I x ' = 403,53 × 10 6   m m 4

I y ' = 789,3 × 10 6   m m 4

I x ' y ' = - 340,92 × 10 6   m m 4

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