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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 21.Problemas - Ex. 8

Determine o produto de inércia I x y do bloco triangular homogêneo. O material tem uma densidade ρ . Expresse o resultado em termos da massa total m do bloco.

Passo 1

Nota-se que a massa infinitesimal do bloco triangular homogêneo   d m , é tal que pode ser escrita como:

d m = ρ d V = ρ b z d y

A massa m , será:

m = ∫ m d m = ∫ 0 a ρ b z d y = ∫ 0 a ρ b h a ( a - y ) d y

m = ρ b h a ∫ 0 a ( a - y ) d y = ρ b h a a 2 + a 2 2

m = ρ b h a 2

Passo 2

O momento de inécia para o elemento diferencial d I x y , pode então ser obtido fazendo uso o teorema dos eixos paralelos, de forma que:

d I x y = d I x ' y ' + d m x G y G

d I x y = 0 + ρ b z d y b 2 y = ρ b 2 2 z y d y

Sabendo que z = h a ( a - y ) , têm-se que :

d I x y = ρ b 2 2 h a ( a - y ) y d y = ρ b 2 h 2 a a y + y 2 d y

Passo 3

O momento de inércia I x y para o bloco triagular é obtido integrando-se   d I x y , de modo que:

I x y = ρ b 2 h 2 a ∫ 0 a a y + y 2 d y

I x y = ρ b 2 h 2 a a 3 2 - a 3 3 = 1 12 ρ a 2 b 2 h

Portanto:

I x y = ρ a b h 2 a b 6

I x y = m a b 6

Resposta

De acordo com os passos 1,2 e 3 o momento de inércia I x y para o bloco triagular expresso em termos da massa total m do bloco, é:

I x y = m a b 6

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