Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 32

Determine a resposta da barra rígida mostrada na Figura 4.46 usando integral de convolução para os seguintes dados: k 1 = k 2 = 5.000   N / m , a = 0,25   m , b = 0,5   m , l = 1,0   m M = 50   k g , m = 10   k g , F 0 = 500   N

Passo 1

Equação do movimento de rotação sobre O

J 0 θ ¨ + M x ¨ ( l ) + k 1 a 2 θ + k 2 b 2 θ = F 0 l e - t (1)

Em que x ¨ = l θ ¨

J 0 = 1 12 m l 2 + m l 2 2 = 1 3 m l 2

Eq 1 pode ser reescrita como

1 3 m l 2 + M l 2 θ ¨ + k 1 a 2 + k 2 b 2 θ = F 0 l e - t (2)

Para dados fornecidos, Eq.2 tem a forma

53.3333 θ ¨ + 1562.5 θ = 500 e - t (3)

Note que o sistema não está amortecido com ω n = 1562.5 53.3333 = 5.4127 r a d / s e c e

Passo 2

o termo de força como 500 e - t , a convolução integral, Eq. (4.33), pode ser usado para encontrar a resposta de estado estacionário como:

θ ( t ) = 1 ( 53.3333 ) ( 5.4127 ) ∫ t t   500 e - r s i n ⁡ 5.4127 ( t - τ ) d τ = 1.7320 ∫ 0 t   e - t e ( t - r ) s i n ⁡ 5.4127 ( t - τ ) d τ

= - 1.7320 e - t ∫ 0 t   e ( t - r ) s i n ⁡ 5.4127 ( t - τ ) ( - d τ ) (4)

Usando a fórmula

∫ e a x s i n ⁡ b × d x = 1 a 2 + b 2 e 2 x [ a s i n ⁡ b x - b c o s ⁡ b x ] (5)

Eq (E4) pode ser expressa como

θ ( t ) = - 1.7320 e - t e ( t - τ ) 1 2 + 5.4127 2 {  sin  5.4127 ( t - τ ) - 5.4127 c o s ⁡ 5.4127 ( t - τ ) } r = 0 r = t

= 0.3094 e - t + 0.05717 s i n ⁡ 5.4127 t - 0.3094 c o s ⁡ 5.4127 t  radian

Resposta

0.3094 e - t + 0.05717 s i n ⁡ 5.4127 t - 0.3094 c o s ⁡ 5.4127 t  radian

Ver Outros Exercícios desse livro