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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 35

Determine a resposta da massa mostrada na Figura 4.49 à força F ( t ) = F 0 e - t usando integral de convolução. Dados: k 1 = 1.000   N / m , k 2 = 500   N / m , r = 5   c m , m = 10   k g , J 0 = 1 k g ⋅ m 2 , F 0 = 50   N .

Passo 1

Equação do movimento da polia sobre O

J 0 θ ¨ + m x ¨ ( 2 r ) + k 1 x ( 2 r ) + k 2 ( θ r ) r = 2 r F 0 e - t (1)

Em que θ = x 2 r . Eq (1) pode ser reescrita nos termos nos termos de x apenas como

J 0 2 r + 2 m r x ¨ + 2 k 1 r + 1 2 k 2 r x = 2 r F 0 e - t (2)

Para dados fornecidos, Eq (2) se torna

11.0 x ¨ + 112.5 x = 5 e - t (3)

Note que o sistema está sem amortecimento com   ω n = 112.5 11.0 = 3.1980 r a d / s e c

Passo 2

A convolação integral, Eq (4.33), pode ser usado para encontrar a resposta do estado estacionário como:

x ( t ) = - 0.1421 e - t ∫ 0 t   e ( t - r ) s i n ⁡ 3.1980 ( t - τ ) ( - d τ ) (4)

Usando Eq(5)na solução do problema 4.32, Eq (4) pode ser expressa como

x ( t ) = - 0.1421 e - t 1 2 + 3.1980 2 e ( t - r ) { s i n ⁡ 3.1980 ( t - τ ) - 3.1980 c o s ⁡ 3.1980 ( t - τ ) } t = 0 t

= 0.04048 e - t + 0.01266 s i n ⁡ 3.1980 t - 0.04048 c o s ⁡ 3.1980 t m (5)

Resposta

= 0.04048 e - t + 0.01266 s i n ⁡ 3.1980 t - 0.04048 c o s ⁡ 3.1980 t m

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