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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 79

Mostre que as condições iniciais das coordenadas generalizadas q i ( t ) podem ser expressas em termos das condiçōes iniciais das coordenadas físicas x i ( t ) em análise modal como

q → ( 0 ) = [ X ] T [ m ] x → ( 0 ) , q → ˙ ( 0 ) = [ X ] T [ m ] x → ˙ ( 0 )

Passo 1

x → ( t ) = [ X ∣ q → ( t ) ; x → ˙ ( t ) = [ X ] q → ˙ ( t ) (1)

Se x → ( 0 ) and x → ˙ ( 0 ) são as condições iniciais conhecidas em termos de coordenadas físicas, para encontrar os valores correspondentes de q → ( 0 ) and q → ˙ ( 0 ) , nós pré-multiplicamos ambos os lados de Eq. (1) por X T [ m ] para obter em t = 0 :

X T [ m ] x → ( 0 ) = [ X ] T [ m ] [ X ] q → ( 0 ) (2)

X T [ m ] x → ˙ ( 0 ) = [ X ] T [ m ] [ X ] q → → ( 0 ) (3)

Uma vez que os modos normais são normalizados em relação à matriz de massa como

[ X ] T [ m ] [ X ] = [ I ∣ (4)

Eq (2) e (3) reduz para

q → ( 0 ) = [ X ] T [ m ] x → ( 0 ) ; q → ˙ ( 0 ) = X T [ m ] x → ˙ ( 0 ) (5)

Resposta

q → ( 0 ) = [ X ] T [ m ] x → ( 0 ) ; q → ˙ ( 0 ) = X T [ m ] x → ˙ ( 0 )

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