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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 78

Determine a resposta do sistema no Problema 6.46 para as condições iniciais x 1 ( 0 ) = 1 , x ˙ I ( 0 ) = 0 , x 2 ( 0 ) = 2 , x ˙ 2 ( 0 ) = 1 x 3 ( 0 ) = 1 , x ˙ 3 ( 0 ) = - 1 . Considere k / m = 1

Passo 1

Equação do movimento para livre vibração

m 1         0         0 0         2         0 0         0         3 x ¨ + k 3         - 2         0 - 2         5         - 3 0         - 3         3 x → = 0 0 0

Do problema 6.46

ω 1 = 0.337627 , ω 2 = 1.414221 , ω 3 = 2.094278

x → ( 1 ) = 1.0 1.443004 1.628659 x 1 ( 1 ) , x → ( 2 ) = 1.0 0.49999 - 0.49998 x 1 ( 2 ) , x → ( 3 ) = 1.0 - 0.693 0.204666 x 1 ( 3 )

Movimento de livre vibração é dado por (veja seção 5.3)

x → ( t ) = x → ( 1 ) ( t ) + x → ( 2 ) ( t ) + x → ( 3 ) ( t )

= x 1 ( 1 ) c o s ⁡ ω 1 t + ϕ 1 + x 1 ( 2 ) c o s ⁡ ω 2 t + ϕ 2 + x 1 ( 3 ) c o s ⁡ ω 3 t + ϕ 3 1.443 x 1 ( 1 ) c o s ⁡ ω 1 t + ϕ 1 + 0.5 x 1 ( 2 ) c o s ⁡ ω 2 t + ϕ 2 - 0.693 x 1 ( 3 ) c o s ⁡ ω 1 t + ϕ 3 1.6287 x 1 ( 1 ) c o s ⁡ ω 1 t + ϕ 1 - 0.5 x 1 ( 2 ) c o s ⁡ ω 2 t + ϕ 2 + 0.2047 x 1 ( 3 ) c o s ⁡ ω 3 t + ϕ 3

(E1)

Condições iniciais conhecidas

x 1 ( 0 ) x 2 ( 0 ) x 3 ( 0 ) = 1 2 1 = 1 1 1 1.443 0.5 - 0.693 1.6287 - 0.5 0.2047 x 1 ( 1 ) c o s ⁡ ϕ 1 x 1 ( 2 )         cos ⁡ ϕ 2 x 1 ( 3 )         cos ⁡ ϕ 3 ⋯ ( E ⋅ 2 )

x ˙ 1 ( 0 ) x ˙ 2 ( 0 ) x ˙ 2 ( 0 ) = 0 1 - 1 = - ω 1 - ω 2 - ω 3 - 1.443 ω 1 - 0.5 ω 2 0.693 ω 3 - 1.6287 ω 1 0.5 ω 2 - 0.2047 ω 3 x 1 ( 1 ) s i n ⁡ ϕ 1 x 1 ( 2 ) s i n ⁡ ϕ 2 x 1 ( 3 ) s i n ⁡ ϕ 3 (E3)

Passo 2

Solução (E1) e (E2) dão

x 1 ( 1 ) c o s ⁡ ϕ 1 = 0.8884 , x 1 ( 1 ) s i n ⁡ ϕ 1 = 0.451 4

x 1 ( 2 ) c o s ⁡ ϕ 2 = 0.6667 , x 1 ( 2 ) s i n ⁡ ϕ 2 = - 0.7857

x 1 ( 3 ) c o s ⁡ ϕ 3 = - 0.5551 , x 1 ( 3 ) s i n ⁡ ϕ 3 = 0.4578

Portanto

x 1 ( 1 ) = 0.9965 , x 1 ( 2 ) = 1.0304 , x 1 ( 1 ) = 0.7195

ϕ 1 = 26.9353 ∘ , ϕ 2 = - 49 ⋅ 6840 ∘ , ϕ 3 = 140.4870 ∘

E a solução final é dada por (E1)

Resposta

ϕ 1 = 26.9353 ∘ , ϕ 2 = - 49 ⋅ 6840 ∘ , ϕ 3 = 140.4870 ∘

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