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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 109

Determine a resposta de vibração livre dos sistemas viscosamente amortecidos descritos no Problema 2.108 quando x 0 = 0,1   m e x ˙ 0 = 10   m/s .

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a resposta de vibração livre dos sistemas viscosamente amortecidos

  1. Sistema subamortecido: Resposta: Eq. (2,70)

    2. X 0 = x 0 2 + x ˙ 0 + ζ ω n ω d 2 1 2

    Usando x 0 = 0.1 , x ˙ 0 = 10 , ζ = 0.75 , ω n = 10 , ω d = 6.61438 , Eq. (E.1) nos dá

    X 0 = 1.62832   m .

    ϕ 0 = tan - 1 - x ˙ 0 + ζ ω n x 0 ω d x 0 = tan - 1 - 10 + 0.75 10 0.1 6.61438 0.1 = - 86.47908 = - 1.50935   rad

    A Eq. (2.70) nos dá:

    x t = 1.62832   e - 7.5   t cos ⁡ 6.61438   t + 1.50935 m

    Passo 2

  2. Sistema criticamente amortecido: Resposta: Eq. (2.80)

    3. x t = x 0 + x ˙ 0 + ω n x 0 t e - ω n t = 0.1 + 10 + 10 × 0.1 t e - 10   t = 0.1 + 11   t e - 10   t   m

    Passo 3

  3. sistema superamortecido: Resposta: Eq. (2.81)

Usando ζ 2 - 1 = 1.25 2 - 1 = 0.75 , obtemos

C 1 = x 0 ω n ζ + ζ 2 - 1 2   ω n ζ 2 - 1 = 0.1 10 1.25 + 0.75 + 10 2 10 0.75 = 0.8

C 2 = - x 0 ω n ζ - ζ 2 - 1 - x ˙ 0 2   ω n ζ 2 - 1 = - 0.1 10 1.25 - 0.75 - 10 2 10 0.75 = - 0.7

A Eq. (2.81) nos dá

x t = C 1 e - ζ + ζ 2 - 1 ω n t + C 2 e - ζ - ζ 2 - 1 ω n t = 0.8 e - 1.25 + 0.75 10 t - 0.7 e - 1.25 - 0.75 10 t

= 0.8 e - 5 t - 0.7 e - 20 t   m

Resposta

  1. x t = 1.62832   e - 7.5   t cos ⁡ 6.61438   t + 1.50935 m
  2. x t = x 0 + x ˙ 0 + ω n x 0 t e - ω n t = 0.1 + 10 + 10 × 0.1 t e - 10   t = 0.1 + 11   t e - 10   t   m
  3. 0.8 e - 5 t - 0.7 e - 20 t   m
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