Enunciado

Determine os valores de k 2 e m 2 no Problema 9.54 de modo a obter frequências naturais do sistema no mínima 30% afastadas de uma frequência forçante .

Passo 1

Alô Alôoo galera, boraaa laáaa??

EncoXXxtaa

Como foi calculado no problema 9.54

m 1 = 20   k g

k 1 = 19919.65   N / m

Inicialmente, a faixa de frequência de excitação deve ser girada para as unidades corretas, como visto abaixo, onde ω r   1 é o limite inferior da faixa de frequência de excitação e ω r   2 é o limite superior da faixa de frequência de excitação:

ω r   1 = 1000 ⋅ 2 π 60

ω r   1 = 104.67   r a d   / s e c

ω r   2 = 3000 ⋅ 2 π 60

ω r   2 = 314   r a d   / s e c

Nesse caso, as equações de frequência natural do nosso sistema tomam a forma abaixo onde μ é a massa do absorvedor para a massa da razão inicial do sistema Ω 1   e   Ω 2 são frequências naturais do sistema combinado.

Para a primeira frequência natural :

Ω 1 2 ω 2 2 = 1 + μ 2 - 1 + μ 2 2 - 1

Ω 1 2 = ω 2 2 1 + μ 2 - 1 + μ 2 2 - 1

Para a segunda frequência natural :

Ω 2 2 ω 2 2 = 1 + μ 2 + 1 + μ 2 2 - 1

Ω 2 2 = ω 2 2 1 + μ 2 + 1 + μ 2 2 - 1

Passo 2

Precisamos que as frequências naturais tenham uma distância de pelo menos 30% da faixa de frequência de excitação. Existem 3 maneiras possíveis de atingir o requisito. Podemos ter ambas as frequências naturais localizadas 30% abaixo do valor inferior da faixa, podemos ter ambas as frequências naturais localizadas 30% maiores do valor superior do valor da faixa ou, finalmente, ter a faixa entre as frequências O 1   e   O 2 . No nosso caso, como a faixa é bastante grande, conseguiremos cumprir o requisito localizando ambas as frequências naturais localizadas 30% abaixo do valor inferior da faixa de excitação.

Como resultado:

Para a primeira frequência natural:

Ω 1 2 < 0.7 ⋅ 104,67 2

ω 2 2 1 + μ 2 - 1 + μ 2 2 - 1 < 73.27 r a d s e c 2

Para a segunda frequência natural:

Ω 2 2 < 0.7 ⋅ 104,67 2

ω 2 2 1 + μ 2 + 1 + μ 2 2 - 1 < 73.27 r a d s e c 2

Uma vez que existe Ω 1 <   Ω 2 uma solução, pode ser obtida através do uso apenas da segunda equação listada acima. Como não há apenas uma solução para o problema, um valor lógico de k 2   e   m 2 pode ser selecionado e o outro pode ser calculado por meio das inequações. No nosso caso, escolheremos um μ = 0.2

Ω 2 2 < 0.7 ⋅ 104,67 2

ω 2 2 1 + μ 2 + 1 + μ 2 2 - 1 < 73.27 r a d s e c 2

ω 2 2 1 + 0.2 2 + 1 + 0.2 2 2 - 1 < 73.27 r a d s e c 2

ω 2 2 ⋅ 1.558 < 73.27 r a d s e c 2    

ω 2 < 58.89   r a d / s e c

Passo 3

Para o cálculo da massa do absorvedor:

m 2 = m 1 ⋅ μ

m 2 = 20   k g ⋅ 0.2

m 2 = 4   k g

Para o cálculo da rigidez do absorvedor:

k 2 = m 2 ⋅ ω 2 2

k 2 = 13,872.13   N / m

Resposta

Portanto, os valores de massa absorvente e rigidez são m 2 = 4   k g   e k 2 = 13,872.13   N / m   .

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