Enunciado

Um motor elétrico com 20 kg de massa e velocidade de operação 1.350 rpm e colocado sobre uma viga de aço engastada nas duas extremidades com 15 cm de largura e 12 cm de espessura, como mostra a Figura 9.45. O motor apresenta um desbalanceamento rotativo de 0,1 kg.m. A amplitude de vibração da viga quando o motor funciona em regime permanente 6 é suprimida com a adição de um absorvedor não amortecido sob o motor, como mostra a Figura 9.45. Determine a massa e a rigidez do absorvedor de modo que a amplitude da massa do absorvedor seja menor que 2 cm.

Passo 1

Alô Alô tranquilooo??

Só vamooo!!!

Inicialmente, a frequência de excitação deve ser ajustada nas unidades corretas

ω = 1350   r p m

ω = 1350   r p m   × 2 π   r a d 1   r o t a ç ã o   × 1   m i n u t o   60   s e g u n d o s

ω = 141.3   r a d / s

Para obter os melhores resultados, tome a frequência do sistema como absorvedor de vibração igual à frequência de excitação.

ω 2 = ω

ω 2 = 141.3   r a d / s

Passo 2

Para o sistema inicial, o momento fletor de inércia da seção retangular é calculado através da equação abaixo onde w é a largura e h a altura da seção

I b = w × h 3 12

Substituindo

I b = 0.15 0.12 3 12

I b = 0.0000216   m 4

Passo 3

Para o cálculo da rigidez de uma viga fixa em um comprimento, o comprimento variável pode ser calculado pela equação abaixo

k b = F δ

δ = F a 2 b 2 ( 3 a l - 3 a 2 - a b ) 6 l E I

Escreva a equação da rigidez

k b = 6 l 3 E I × F F a 2 b 2 3 a l - 3 a 2 - a b

k b = 6 l 3 E I a 2 b 2 3 a l - 3 a 2 - a b

Substituindo os valores

k b = 6 1.5 3 207 × 10 9 0.0000216 1 2 0.5 2 3 1 1.5 - 3 1 2 - 0.5

k b = 362167200   N / m

Passo 4

Determinaremos a massa total da viga e do motor elétrico

M t o t = M + m e f f

A massa efetiva da viga é denotada como m e f f sendo aproximadamente determinada como 17 35 m b próxima ao seu centro.

A massa do feixe m b como ρ ( w h l ) , com a densidade do feixe .

Aplicando a expressão de massa total.

M t o t = M + 17 35 ρ ( w h l )

Substituindo

M t o t = 20 + 17 35 7650 ( 0.15 × 0.12 × 1.5 )

M t o t = 120.324   k g

Passo 5

Iremos calcular a frequência natural do feixe e do motor, ω n usando a seguinte expressão

ω n = k b M t o t

Substituindo

ω n = 362167200 120.324

ω n = 1735   r a d / s

Determinaremos a relação de frequência do feixe e do motor

r = ω ω n

Substituindo

r = 141.3 1735

r = 0.0815

Determinaremos a força transmitida por feixe.

F t = F 0 1 1 - r 2

Onde, F 0 é a força de desequilíbrio do motor que é determinada como m e ω 2 .

Escrevendo a equação da força transmitida

F t = m e ω 2 1 - r 2

Substituindo

F t = 0.1 141.3 2 1 - 0.0815 2

F t = 2011.95   N

Passo 6

A força de vibração total é determinada usando a seguinte expressão

F t o t = F 0 + F t

F t o t = m e ω 2 + F t

Substituindo os valores:

F t o t = 0.1 141.3 2 + 2011.95

F t o t = 4010.55   N

Para o cálculo da amplitude máxima do sistema X

F t o t = m 2 ω 2 X

m 2 = F t o t ω 2 X

Substituindo

m 2 = 4010.55 141.3 2 0.02

m 2 = 10   k g

Portanto, a massa do absorvedor é de 10 kg.

Passo 7

Logo, a amplitude é reduzida, a frequência natural do absorvedor é igual à frequência excitada ω 2 = ω .

Calcule a rigidez do absorvedor usando a equação.

k 2 = m 2 ω 2 2

Substituindo

m 2 = 10 141.3 2

m 2 = 199860 N m

m 2 = 0.199860   M N / m

Portanto, a rigidez do absorvedor é de 0.1999860 MN/m.

Resposta

Vide o passo a passo.

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