Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 45

Determine:(a) as frequências naturais do sistema;(b) as respostas da bigorna e do bloco de base do martelo de forjar exposto na Figura 5.41 , quando o histórico de tempo da força aplicada à bigorna é o mostrado na Figura 5.42 .

Considere os seguintes dados:Massa da bigorna e estrutura = 200 M g Massa do bloco de base = 250 M g Rigidez do coxim elástico = 150 M N / m Rigidez do solo = 75 M N / m F 0 = 10 5 N   e   T = 0,5   s

Passo 1

(a) Frequência natural

Equações do movimento

m 1 x ¨ 1 + k 1 x 1 - k 1 x 2 = F 1 ( t ) (E1)

m 2 x ¨ 2 + k 1 + k 2 x 2 - k 1 x 1 = 0 (E2)

Equação da frequência

- ω 2 m 1 + k 1         - k 1   - k 1         - m 2 ω 2 + k 1 + k 2   = 0

Ou ω 4 - k 1 m 1 + k 1 + k 2 m 2 ω 2 + k 1 x 2 m 1 m 2 = 0

∴ ω 1,2 2 = k 2 m 1 + k 1 + k 2 2 m 2 ∓ 1 4 k 1 m 1 + k 1 + k 2 m 2 2 - k 1 k 2 m 1 m 2

Em que m 1 = 2 × 10 5 k g , m 2 = 2.5 × 10 5 k g , k 1 = 150 × 10 6 N / m e k 2 = 75 × 10 6 N / m

ω 1,2 2 = 150 × 10 6 4 × 10 5 + 225 × 10 6 5 × 10 5 ∓ 1 4 150 × 10 6 2 × 10 5 + 225 × 10 6 2.5 × 10 5 2 - 150 × 75 × 10 12 5 × 10 10

= 150,1500 ( r a d / s e c ) 2

∴ ω 1 = 12.2474 r a d / s e c , ω 2 = 38.7298 r a d / s e c

Passo 2

(b) resposta

Assumindo zero condições iniciais, as transformadas Eaplace de (E1) e (E2) podem ser escritas como

m 1 s 2 x _ 1 ( s ) + k 1 x _ 1 ( x ) - k 1 x _ 2 ( x ) = F _ 1 ( s )

m 2 s 2 x _ 2 ( s ) + k 1 + k 2 x _ 2 ( x ) - k 1 x _ 1 ( s ) = 0

i.e m 1 s 2 + x 1 x _ 1 ( s ) - k 1 x _ 2 ( s ) = F _ 1 ( s )

- k 1 x _ 1 ( x ) + m 2 s 2 + k 1 + k 2 x _ 2 ( s ) = 0

Solução dessas equações

x _ 1 ( s ) = m 2 s 2 + k 1 + k 2 m 1 m 2 s 4 + s 2 m 1 k 1 + m 1 k 2 + m 2 k 1 + k 1 k 2 F _ 1 ( s ) (E3)

x _ 2 ( s ) = k 1 m 1 m 2 s 4 + s 2 m 1 x 1 + m 1 k 2 + m 2 k 1 + k 1 * 2 F _ 1 ( s ) (E4)

Passo 3

Para a função forçante

F _ 1 x = F _ s = F 0 T 1 s 2 - e - T s T s - 1 s 2 ⋯                                                                           E 5

Para dados fornecidos, eqs(E3) a (E5) dão

x _ 1 ( k ) = 2.5 × 10 5 s 2 + 225 × 10 6 5 × 10 10 8 4 + 825 × 10 11 i 2 + 11250 × 10 12 F _ 1 ( x )

= s 2 + 900 2 × 10 5 s 4 + 330 × 10 6 s 2 + 45 × 10 9 F _ 1 ( 8 ) … E 6

x _ 2 ( s ) = 150 × 10 6 5 × 10 10 s 4 + 825 × 10 11 8 2 + 11250 × 10 12

= 30 10 4 s 4 + 165 × 10 5 s 2 + 225 × 10 7 F _ 1 ( s ) (E7)

Em que F _ 1 ( s ) = 2 × 10 5 1 s 2 - e - 0.5 x 1 2 s - 1 s 2 (E8)

As transformações inversas de E 6 e E 7 rende x 1 ( t ) e x 2 ( t ) .

Resposta

a ∴ ω 1 = 12.2474 r a d / s e c , ω 2 = 38.7298 r a d / s e c

(b) As transformações inversas de E 6 e E 7 rende x 1 ( t ) e x 2 ( t ) .

Ver Outros Exercícios desse livro