Enunciado

Detrmine a equação da curva da linha elástica para a viga. Especifique a inclinação e o deslocamento em A. EI é constante.

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu mais um problema de resmat!

Este problema pede as reações de apoio. Como é uma viga mais simples, vamos economizar seu tempo e ir direto para o DCL:

Aí a gente acha a valor do momento na nossa viga em função de x . Vamos cortar ela e olhar só para a direita. Mas repara que quando a gente corta, a altura do triângulo vai depender de x ? Então a gente precisa achar uma expressão para ela:

w 0 L = w x x ∴ w x = x L w 0

Aí o momento fica

M x = - w ( x ) x 2 ⋅ 1 3 x = - w 0 x 3 6 L

Bora seguir!

Passo 2

Sabemos que a equação da linha elástica e sua inclinação podem ser obtidas determinando o momento interno no elemento em função de x .

Neste caso, temos várias cargas agindo e, por isso, devemos integrar M x . Ao integrar uma vez, otemos a equação para a inclinação da linha elástica, e integrando novamente, obtemos a equação para a deflexão. Temos:

E I d 2 v d x 2 = M x = - w 0 6 L x 3

E I d v d x = - w 0 24 L x 4 + C 1 E I v = - w 0 120 L x 5 + C 1 x + C 2

Passo 3

Com isso, temos as condições de contorno. São elas:

x = L → v = 0 x = L → d v d x = 0

Ou seja, no apoio do engaste, v e inclinação zeram.

Substituindo as condições de contorno na equação, temos: C 1 = 1 24 w 0 L 3

C 2 = - w 0 L 4 30

Assim, nossa equação da linha elástica vai ser:

v = w 0 120 E I L ( - x 5 + 5 L 4 x - 4 L 5 )

E a inclinação:

θ = d v d x = 1 E I - w 0 24 L x 4 + 1 24 w 0 L 3

Passo 4

Por fim, a inclinação em A ocorre em x = 0 . Sendo assim:

θ A = w 0 L 3 24 E I

E o deslocamento, também ocorre em x = 0 . Por isso:

v A = - w 0 L 4 30 E I

Resposta

v = w 0 120 E I L ( - x 5 + 5 L 4 x - 4 L 5 )

θ A = w 0 L 3 24 E I

v A = - w 0 L 4 30 E I

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O eixo suporta as cargas das duas polias mostradas na figura. Determine a equação da linha elástica. Os mancais em A e B exercem somente reações verticais sobre o eixo. EI é constante.