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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 44

Os pesos do martelo-pilão, suporte, bigorna (juntamente com a peça de trabalho) e bloco de base de um martelo de forjar (Figura 5.41) são 5.000 l b , 40.000 l b , 60.000 l b e 140.000 l b respectivamente. A rigidez do coxim elástico colo-cado entre a bigorna e o bloco de base e do isolamento localizado embaixo do bloco da base (incluindo a elasticidade do solo) são 6 × 10 6 l b / i n e 3 × 10 6 l b / i n , respectivamente. Se a velocidade do martelo-pilão antes de atingir a bigorna for 15 f t / s , determine:

(a) as frequências naturais do sistema;(b) as magnitudes de deslocamento da bigorna e do bloco de base. Considere o coeficiente de restituição como 0,5 e o amortecimento desprezível no sistema.

Passo 1

massa da tup: 2000   k g ,massa da moldura: 20000   k g .

massa da bigorna: 30000   k g ,

massa da fundação do bloco: 65000   k g ,

rigidez da almofada elástica: 1 G P a ,

rigidez do isolamento : 500 M P a ,

velocidade do ataque tup: 4.5   m / s .

Passo 2

(a) frequência natural do sistema

Do problema 5.1

ω 1,2 2 = k 1 + k 2 2 m 1 + k 2 2 m 2 ∓ 1 4 k 1 + k 2 m 1 + k 2 m 2 2 - k 1 k 2 m 1 m 2

ω 1,2 2 = 1.5 × 10 9 130000 + 10 9 100000 ∓ 1 4 1.5 × 10 9 65000 + 10 9 50000 2 - 500 × 10 15 3.25 × 10 9

Ou ω 1 = 62.6894 r a d / s e c   ω 2 = 197.8559 r a d / s e c  

Passo 3

(b) condições iniciais do sistema

deixe ϑ 2 = velocidade inicial da bigorna e moldura logo após o impacto do tup.

A partir da conservação do princípio de momentum, momentum de tup mais momentum de m2 logo antes do impacto = momentum de tup mais momentum de m2 logo após o impacto.

i.e m t u p   ϑ , t u p   + m 2 ( 0 ) = m t u p   ϑ 0 + m 2 ϑ ϑ 2 (E1)

em que ϑ 0 =   velocidade de rebote do tup após o impacto

C o e f i c i e n t e   e   r e s t i t u i ç ã o   ( e )   =   v e l o c i d a d e   r e l a t i v a   d e p o i s   d o   i m p a c t o     v e l o c i d a d e   r e l a t i v a   a n t e s   d o   i m p a c t o

i.e e = ϑ 2 - ϑ 0 ϑ t u p     o r   ϑ 0 = ϑ 2 - e ϑ t u p   (E2)

da eq (E1) e (E2)

ϑ 2 = m t u p   ϑ t u p   ( 1 + e ) m t u p   + m 2

Para dados fornecidos

ϑ 2 = 2000 ( - 4.5 ) ( 1 + 0.5 ) 2000 + 50000 = - 0.2596 m / s

Condições iniciais são

x 1 ( 0 ) = 0 , x ˙ 1 ( 0 ) = 0 , x 2 ( 0 ) = 0 , x ˙ 2 ( 0 ) = - 0.2596 m / s

Passo 4

(c) Deslocamentos de bigorna e bloco de fundação: podemos usar os resultados da seção 5.3 with k 3 = 0

r 1 = X 2 ( 1 ) X 1 ( 1 ) = - m 1 ω 1 2 + k 1 + k 2 k 2 = - 65000 ( 62.6894 ) 2 + 10 9 + 0.5 × 10 9 10 9 = 1.2445

r 2 = X 2 ( 2 ) X 1 ( 2 ) = - m 1 ω 2 2 + k 1 + k 2 k 2 = - 65000 ( 197.8559 ) 2 + 1.5 × 10 9 10 9 = - 1.0446

Resposta do sistema pode ser computado usando Eq (5.18)

X 1 ( 1 ) = 1 r 2 - r 1 x ˙ 2 ω 1 = 1 - 2.2891 + 0.2596 62.6894 = - 1.809 × 10 - 3 ( m )

X 1 ( 2 ) = 1 r 2 - r 1 x ˙ 2 ω 2 = 1 - 2.2891 0.2596 197.8559 = - 0.5732 × 10 - 3 ( m )

ϕ 1 = t a n - 1 ⁡ x ˙ 2 ( 0 ) 0 = - π 2

ϕ 2 = t a n - 1 ⁡ - x ˙ 2 ( 0 ) 0 = π 2

Resposta é dada pela Eq(5.15)

X 1 ( t ) = X 1 ( 1 ) c o s ⁡ ω 1 t + ϕ 1 + X 1 ( 2 ) c o s ⁡ ω 2 t + ϕ 2

= - 1.809 × 10 - 3 c o s ⁡ 62.6894 t - π 2 - 0.5732 × 10 - 3 c o s ⁡ 197.8559 t + π 2 m

X 2 ( t ) = r 1 X 1 ( 1 ) c o s ⁡ ω 1 t + ϕ 1 + r 2 X 1 ( 2 ) c o s ⁡ ω 2 t + ϕ 2

= - 2.2513 × 10 - 3 c o s ⁡ 62.6894 t - π 2 + 0.5988 × 10 - 3 c o s ⁡ 197.8559 t + π 2 m

Resposta

(a) ω 1 = 62.6894 r a d / s e c   ω 2 = 197.8559 r a d / s e c  

(b)   x 1 ( 0 ) = 0 , x ˙ 1 ( 0 ) = 0 , x 2 ( 0 ) = 0 , x ˙ 2 ( 0 ) = - 0.2596 m / s

(c)   - 2.2513 × 10 - 3 c o s ⁡ 62.6894 t - π 2 + 0.5988 × 10 - 3 c o s ⁡ 197.8559 t + π 2 m

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