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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 108

Duas chapas de reforço são soldadas à viga de aço laminado mostrada. Usando E = 29.10 6 psi, determine a inclinação e a deflexão na extremidade C.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!

Passo 2

Beleza, para esse DCL, teremos momento ao longo de toda a viga, no entanto como a seção varia entre AB e BC, precisamos calcular as duas parcelas de E I . Começando pela parcela BC, precisamos pegar o momento de inércia para a viga W10 X 45 da internet, já que no apêndice C não temos informação para esse perfil, então teremos:

I = 248   i n 4

Então o produto EI na porção AB será:

E I B C = 29.10 3 248 → E I B C = 7,192.10 6   k i p . i n 2

Agora, convertendo esse valor para k i p . f t 2 dividindo a expressão acima por 12², teremos:

E I B C = 49944,4   k i p . f t 2

Agora para a porção AB da viga, temos que o momento de inércia resultante será o momento da viga mais o momento gerado pela adição das placas de reforço. Então o momento resultante será:

I A B = I v i g a + 2 A p l a c a d 2

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

I A B = 248 + 2 9 0,5 5,05 + 0,25 2 → I A B = 500,81   i n 4

Então o produto EI para a porção AB será:

E I A B = 29.10 3 500,81 → E I A B = 14,52.10 6   k i p . i n 2

Convertendo para kip.ft² igual fizemos para a porção BC, teremos:

E I A B = 100857,6   k i p . f t 2

Passo 3

Agora, como temos uma força localizada para o nosso DCL, sabemos que o diagrama de momento, e consequentemente o diagrama M / E I , será uma reta inclinada. Então só precisamos achar os valores dos momentos em B e em C. Sabendo que o momento nesse caso é dado por:

M = - 15 x

Então, o momento no ponto A e no ponto B serão:

M B = - 15 1,5 → M B = - 22,5   k i p . f t

M A = - 15 6 → M C = - 90   k i p . f t

Então, os valores M / E I nesses dois pontos, considerando que temos dois valores no ponto B, um pela esquerda e outro pela direita, serão:

M E I B A B = M B E I A B = - 22,5 100857,6 → M E I B A B = - 223,1.10 - 6   f t - 1

M E I B B C = M B E I B C = - 22,5 49944,4 → M E I B B C = - 450,5.10 - 6   f t - 1

M E I A B C = M A E I B C = - 90 100857,6 → M E I A B C = - 892,3.10 - 6   f t - 1

Beleza, com esses valores conseguimos desenhar o diagrama M / E I (observe que vamos dividir a porção AB em dois triângulos, para que possamos calcular a área e o centroide com mais facilidade) será:

Passo 4

Então, agora vamos calcular as áreas que encontramos e os seus centroides, sempre com relação a base das figuras, então teremos 3 triângulos, sendo assim:

A 1 = b h 2 = ( 4,5 ) - 892,3.10 - 6 2 → A 1 = - 2,008.10 - 3

x - 1 = b 3 = 4,5 3 → x - 1 = 1,5   f t

Como A 2 e A 1 possuem o mesmo comprimento, podemos encontrar a área de A 2 utilizando semelhança de triângulos, onde teremos

A 2 = 1,5 6 A 1 → A 2 = - 0,502.10 - 3

x - 2 = b 3 = 4,5 3 → x - 2 = 1,5   f t

A 3 = b h 2 = 1,5 - 450,5.10 - 6 2 → A 3 = - 337,9.10 - 6

x - 3 = b 3 = 1,5 3 → x - 3 = 0,5   f t

Tá legal! Agora podemos calcular a inclinação no ponto C, sabendo que a inclinação entre dois pontos é representada pela área sob a curva do diagrama M / E I , então a inclinação do ponto A será:

θ C / A = θ C - θ A = A 1 + A 2 + A 3

Substituindo os valores encontrados para as áreas, teremos:

θ C - 0 = - 2,008.10 - 3 + - 0,502.10 - 3 + - 337,9.10 - 6

θ C = - 2,85 . 10 - 3   r a d

Passo 5

Beleeeza! Agora, sabemos que a deflexão entre dois pontos será dada através do teorema do segundo momento de área, que é dado por:

t C / A = A C A x -

Em que A C A é a área embaixo da curva M / E I e x - é a distância do centroide da área até o eixo vertical que passa pelo ponto de interesse, que no nosso caso é o ponto A. Então, utilizando as áreas que temos no nosso diagrama M / E I , teremos:

t C - t A = A 1 x - 1 + A 2 x - 2 + A 3 x - 3

t C - 0 = - 2,008.10 - 3 6 - 1,5 + - 0,502.10 - 3 1,5 + 1,5 + - 337,9.10 - 6 1,5 - 0,5

t C = - 10,9 . 10 - 3   f t

Shooow!! Terminamos mais um, valeeu!

Resposta

a :   θ C = - 2,85.10 - 3   r a d

b : t C = - 10,9.10 - 3   f t

Ver Outros Exercícios desse livro

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Para a viga e o carregamento do P r o b . 9.5 3 , determinar a maior deflexão, para cima, no vão DE.Segundo a localização do ponto que ocorre o máximo para a Viga e carregamento do P r o b . 9.5 3 .
Para a viga e o carregamento do P r o b . 9 . 52 , determinar a maior deflexão, para baixo, no vão AD.Segundo a localização do ponto que ocorre o máximo para a Viga e carregamento do P r o b . 9 . 52
Para a viga e o carregamento do P r o b . 9.5 3 , determinar a maior deflexão, para cima, no vão DE.A intensidade do máximo para a Viga e carregamento do P r o b . 9.5 3 .
Para a viga e o carregamento indicado, determinar a intensidade e a localização da maior deflexão dirigida para baixo.A intensidade do máximo para a Viga e carregamento do P r o b . 9 . 57 .
Para a viga e o carregamento indicado, determinar a intensidade e a localização da maior deflexão dirigida para baixo.Localização da deformação da viga e carregamento do P r o b .9.57 .