Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 102
Para a viga uniforme em balanço e o carregamento mostrados na figura, determine (a) a inclinação e (b) a deflexão no ponto A. Use E = 200 GPa.
Passo 1
Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!
Passo 2
Tá legal! Vamos começar esse exercício separando o carregamento em duas partes, uma com o carregamento distribuído e a outra com a força localizada, onde teremos:
Esse será nosso diagrama 1. Agora para o carregamento distribuído, temos:
Esse será o nosso diagrama 2. Agora vamos fazer os cálculos para o primeiro diagrama. Começando aplicando o momento em relação ao ponto C, teremos:
Agora, aplicando o somatório de forças na direção y, teremos:
Então, com esses valores, vamos desenhar o DCL para uma seção de comprimento da viga, onde teremos:
Agora vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto D para encontrar uma expressão para o momento na viga, onde teremos:
Essa será a equação para o momento para , entre o momento resultante será zero.
Passo 3
Agora vamos fazer os cálculos para o segundo diagrama. Começando aplicando o momento em relação ao ponto C, teremos:
Agora, aplicando o somatório de forças na direção y, teremos:
Então, com esses valores, vamos desenhar o DCL para uma seção de comprimento da viga, só que agora começando da esquerda para direita, onde teremos:
Agora vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto D para encontrar uma expressão para o momento na viga, onde teremos:
Então, o momento na extremidade C será:
Então agora podemos desenhar nosso diagrama , que será dado por:
Passo 4
Beleza! Agora vamos calcular o termo , pois vamos precisar dele. Para isso, vamos até o apêndice C pegar o momento de inércia da viga W250 X 28,4, que será:
Então, nossa parcela será:
Agora nós vamos calcular a área sob as duas curvas e a localização do centroide dessas áreas. Começando pela área superior, que chamaremos de área 1, teremos:
E o seu centroide, contabilizando a partir do ponto B, será:
Agora, com o auxílio da Fig. 9.31 vista nesse capítulo, vamos calcular a área e o centroide da área 2, então, como temos um triângulo com hipotenusa parabólica, teremos:
E o centroide será dado por:
Tá legal! Agora podemos calcular a inclinação no ponto A, sabendo que a inclinação entre dois pontos é representada pela área sob a curva do diagrama , então a inclinação do ponto A será:
Substituindo os valores encontrados para as áreas, teremos:
Passo 5
Beleeeza! Agora, sabemos que a deflexão entre dois pontos será dada através do teorema do segundo momento de área, que é dado por:
Em que é a área embaixo da curva e é a distância do centroide da área até o eixo vertical que passa pelo ponto de interesse, que no nosso caso é o ponto A. Então, utilizando as duas áreas que temos no nosso diagrama , teremos:
Shooow!! Terminamos mais um, valeeu!