Enunciado

Se o eixo A B é acionado pelo motor com uma velocidade angular ω 1 = 50   r a d / s e a aceleração angular ω ˙ 1 = 20   r a d / s 2 no instante mostrado, e a roda de 10   k g rola sem deslizar, determine a força de atrito e a reação normal sobre a roda, e o momento M que tem de ser fornecido pelo motor nesse instante. Suponha que a roda é um disco circular uniforme.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Temos que Ω = ω 1 , onde ω 1 = 50 k   r a d / s . Logo:

I z = I y = 1 4 10 0,1 2 + 10 0,3 3

I z = I y = 0,925   k g ⋅ m 2

I x = 1 2 10 0,1 2 = 0,05   k g ⋅ m 2

A partir do desenho, podemos fazer a seguinte relação:

ω 2 ω 1 = 3 1

ω 2 = 3 ω 1 = 150   r a d / s

Como ω = ω 1 + ω 2 , temos:

ω = 150 i + 50 k

ω x = 150

ω y = 0

ω z = 50

Temos que ω ˙ x y z = ω ˙ 1 x y z + ω ˙ 2 x y z , onde:

ω ˙ 2 x y z = 3 ω ˙ 1 x y z

Do enunciado, temos que ω ˙ 1 x y z = 20 , portanto:

ω ˙ 2 x y z = 3 ( 20 )

ω ˙ 2 x y z = 60   r a d / s 2

Então:

ω ˙ x y z = 20 k + 60 i

As componentes são dadas por:

ω ˙ x = 60

ω ˙ y = 0

ω ˙ z = 20

Agora temos todos os dados necessários para calcular as componentes do momento. Elas são dadas por:

∑ M x = I x ω ˙ x - I y - I z ω y ω z

F 0,1 = 0,05 60 - 0 + 0

F = 30   N

∑ M y = I y ω ˙ y - I z - I x ω x ω z

N 0,3 - 10 9,81 0,3 = 0 - 0 + ) 0,05 ( 50 ) ( 150 )

N = 1248,1   N

∑ M z = I z ω ˙ z - I x - I y ω x ω y

M - 30 0,3 = 0,925 20 - 0 + 0

M = 27,5   N ⋅ m

Resposta

F = 30   N

N = 1248,1   N

M = 27,5   N ⋅ m

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