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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 140

O eixo é sustentado por um mancal em A , que exerce somente reações verticais sobre o eixo, e por um mancal de encosto em B , que exerce reações horizontais e verticais sobre o eixo. Trace o diagrama de momento fletor para o eixo e, por esse diagrama, faça o rascunho da deflexão ou da linha elástica para a linha central do eixo. Determine as equações da curva da linha elástica utilizando as coordenadas x 1 e x 2 . E I é constante.

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu mais um problema de resmat. Este problema pede as reações de apoio e os diagramas. Primeiro, vamos fazer o DCL e também, esboçar o diagrama de força cortante e momento fletor:

Passo 2

Agora, devemos ulizar as equações de equilíbrio:

∑ M B = 0 400 × 0,1 + 400 × 0,1 - 0,6 V A = 0 V A = 133,33   N

∑ F y = 0 V A - V B = 0 V B = 133,33   N

Passo 3

Sabemos que a equação da linha elástica e sua inclinação podem ser obtidas determinando o momento interno no elemento em função de x . Neste caso, temos várias cargas agindo e, por isso, devemos integrar M x . Ao integrar uma vez, btemos a equação para a inclinação da linha elástica, e integrando novamente, obtemos a equação para a deflexão. Para 0 ≤ x 1 ≤ 0,3   m , temos:

∑ M = 0 M x 1 - 133,33 x 1 = 0 M x 1 = 133,33 x 1

E I d 2 v d x 2 = M x 1 = 133,33 x 1

E I d v d x 1 = 66,67 x 1 2 + C 1

E I v = 22,22 x 1 3 + C 1 x 1 + C 2

Para 0 ≤ x 2 ≤ 0 , 3   m :

∑ M = 0 M x 2 - 133,33 x 2 = 0 M x 2 = 133,33 x 2

E I d 2 v d x 2 2 = M x 2 = 133,33 x 2

E I d v d x 2 = 67,66 x 2 2 + C 3

E I v = 22,22 x 2 3 + C 3 x 2 + C 4

Passo 4

Com isso, temos as condições de contorno. São elas:

x 1 = 0 → v 1 = 0

x 2 = 0 → v 2 = 0  

Já as condições de continuidade são:

x 1 = x 2 = 0,3   m → d v 1 d x 1 = - d v 2 d x 2

v 1 = v 2

Substituindo as condições de contorno na equação, temos: C 1 = - 2

C 2 = 0

C 3 = 2

C 4 = 0

Passo 5

Por fim, vamos encontrar as equações da curva da linha elástica. São elas:

v 1 = 1 E I 22,22 x 1 3 - 2 x 1 v 2 = 1 E I ( - 22,22 x 2 3 + 2 x 2 )

Resposta

v 1 = 1 E I 22,22 x 1 3 - 2 x 1

v 2 = 1 E I ( - 22,22 x 2 3 + 2 x 2 )

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