Enunciado

O eixo vazado mostrado é feito e um aço doce, que é considerado ser elastoplástico com G = 77   G P a e τ e = 145   M P a . A intensidade dos troques T é lentamente aumentando, até que a zona plástica atinja a superfície interna do eixo, quando então estes são removidos. Determine:

  1. A intensidade e onde ocorre a máxima tensão residual de cisalhamento.
  2. O ângulo de torção permanente.

Passo 1

Pelo enunciado temos os seguintes dados apresentados:

c 1 = D 1 2 = 25 2 = 12,5   m m

c 2 = D 2 2 = 60 2 = 30,0   m m

J = π ( c 2 4 - c 1 4 ) 2 = π ( 30 4 - 12,5 4 ) 2 = 1233995   m m 4

τ e = 145   M P a = 145 N m m 2

G = 77 G p a

Sabemos que a equação do torque é dada por:

T = 2 π ∫ C 1 C 2 ρ 2 τ   d ρ

Algo importante para sabermos é que como a zona plástica cresceu até chegar na superfície interna do eixo, podemos definir que τ = τ e = 145   M P a , com isso podemos escrever a nossa equação da seguinte maneira.

T = 2 π τ e ∫ C 1 C 2 ρ 2   d ρ

Resolvendo a integral teremos que:

T = 2 π τ e ρ 3 3 C 2 C 1

Substituindo teremos que:

T = 2 3 π τ e C 2 3 - C 1 3

Substituindo esses dados na equação, teremos que:

T = 2 3 π 145 30 3 - 12,5 3 = 7606418   N m m = 7606,4   N m

E tendo o valor do torque, podemos determinar o valor das tensões, e assim podemos calcular as tensões relacionadas a cada um dos raios, e separando teremos que:

  • c 1 = 12,5   m m
  • τ 1 ' = T c 1 J = 7606,4   N m   .   12,5   . 10 3 [ m m ]   1233995   m m 4 = 77,05   M P a

  • c 2 = 30,0   m m
  • τ 2 ' = T c 2 J = 7606,4   N m   .   30,0   . 10 3 [ m m ]   1233995   m m 4 = 184,9   M P a

    Passo 2

    E agora podemos calcular as tensões residuais, da seguinte maneira:

  • ρ = c 1 = 12,5   m m (A máxima tensão residual de cisalhamento)
  • τ r e s i s d u a l   = τ e - τ 1 ' = 145 - 77,05 = 67,95   M P a   ≅ 68,0   M P a

  • ρ = c 2 = 30,0   m m (A tensão residual de cisalhamento na superfície do eixo)

τ r e s i s d u a l   = τ e - τ 2 ' = 145 - 184,9 = - 39,9   M p a  

Como a tensão residual máxima é a maior dentre as duas que calculamos ali em cima, temos que:

τ r e s i s d u a l   m á x i m a   ≅ 68,0   M P a

Passo 2

Agora para o item B) precisamos determinar o ângulo de deformação. Para isso precisamos fazer uma diferença entre a deformação elástica e máxima, sendo assim teremos que:

Podemos determinar o nosso ângulo de deformação elástica dada pela seguinte equação.

Ф e = T e L J G

Sabemos que:

T e = J c 1 τ e

Substituindo teremos que:

Ф e = J c 1 τ e L J G = J τ e L c 1 J G = τ e L c 1 G

Ф e = τ e L c 1 G = 145   M P a   .   5 000   m m 12,5 m m   .   77000   M P a   = 0,7532   r a d

E assim a nossa deformação angular total é dada pela seguinte equação.

Ф = Ф e c 1   ρ e = 0,7532   .   12,5 12,5 = 0,7532   r a d

Tendo o torque atuante, podemos determinar a máxima deformação angular de acordo com a nossa estrutura.

Ф ' = T L J G = 7606,4   N m .   5   m 1233995   .     10 - 12 m 4   .   77   .   10 9   N m 2   = 0,4000   r a d

E como queremos a deformação angular permanente, podemos fazer a seguinte conta:

Ф p = Ф - Ф ' = 0,7532 - 0,4000 = 0,3532   r a d

Passando para graus teremos que:

Ф p = 0,3532   .   180 π = 20,2 °

Resposta

A máxima tensão residual de cisalhamento

τ r e s i s d u a l   m á x i m a   ≅ 68,0   M P a

O ângulo de deformação permanente é dado por

Ф p = 20,2 °

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