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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 70

A equação de movimento de um sistema massa-mola amortecedor sistema é dada por

m x ¨ ± μ N + c x ˙ 3 + k x = F 0 c o s ⁡ ω t

Derive expressões para;(a) a constante de amortecimento viscoso equivalente;(b) a amplitude em regime permanente;(c) o coeficiente de amplitude em ressonância.

.

Passo 1

(a) Equação do movimento   m x ¨ ± μ N + c ( x ˙ ) 3 + k x = F 0 c o s ⁡ ω t

Assim, o sistema combinou Coulomb e velocidade ao cubo

Para o amortecimento Coulumb

c e q 1 = 4 μ N π ω X (E1)

Para amortecimento em cubos de velocidade, o coeficiente de amortecimento viscoso equivalente pode ​​ser obtido a partir da solução do problema 3,68 :

c e q 2 = c ω 3 x 2 α 3 (E2)

Em que α 3 = 4 π 3 4 ∫ 0 π / 2 ω   c o s 2 ⁡ ω t d t = 3 4 ω (E3)

∴ c e q 2 = 3 4 < ω 2 x 2 (E4)

E   c e q = c q 1 + c e q 2 = 4 μ N π ω x + 3 4 c o s 2 ⁡ x 2 (E5)

Passo 2

(b)  amplitude de estado estacionário sob força harmônica

x = F 0 k 2 1 - r 2 2 + c e l 2 ω 2 = F 0 k 2 1 - r 2 2 + 4 μ N π ω X + 3 4 c ω 2 x 2 2 ω 2 (E6)

Passo 3

(c) Razão da amplitude

x δ s t = x F 0 / k = 1 1 - r 2 2 + c e 2 ω 2 k 2 (E7)

Na ressonância , r=1 e eq (E7) reduz para

x δ st  resonance   = 1 4 μ N π x * + 3 4 k c o s 3 ⁡ x 2 (E8)

Resposta

a E   c e q = c q 1 + c e q 2 = 4 μ N π ω x + 3 4 c o s 2 ⁡ x 2

(b) x = F 0 k 2 1 - r 2 2 + c e l 2 ω 2 = F 0 k 2 1 - r 2 2 + 4 μ N π ω X + 3 4 c ω 2 x 2 2 ω 2

(c) x δ st  resonance   = 1 4 μ N π x * + 3 4 k c o s 3 ⁡ x 2

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