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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 4

Uma máquina-ferramenta com massa m = 1.000   k g e momento de inércia de massa J 0 = 300   k g / m 2 está apoiada sobre suportes elásticos, como mostra a Figura 5.19. Se as rigidezes dos suportes forem dadas por k 1 = 3.000   N / m m e k 2 = 2.000   N / m m , e os suportes estiverem localizados a l 1 = 0,5   m   e   l 2 = 0 ; 8   m , determine as frequências naturais e formas modais da máquina-ferramenta.

Passo 1

Equação do movimento em termos de x e θ :

m x ¨ + k 1 x - l 1 θ + k 2 x + l 2 θ = 0 (E1)

J 0 θ ¨ - k 1 l 1 x - l 1 θ + k 2 l 2 x + l 2 θ = 0 (E2)

Para livre vibração

x ( t ) = X c o s ⁡ ( ω t + ϕ ) (E3)

θ ( t ) = ⊕ c o s ⁡ ( ω t + ϕ ) (E4)

E Eqs(E1) e E2 se tornam

- m ω 2 + k 1 + k 2   - k 1 l 1 - k 2 l 2   - k 1 l 1 - k 2 l 2   - δ 0 ω 2 + k 1 l 1 2 + x 2 l 2 2   x   θ   = 0   0   (E5)

Passo 2

Equação da frequência é

- m ω 2 + k 1 + k 2         - k 1 l 1 - k 2 l 2   - k 1 l 1 - k 2 l 2         - δ 0 ω 2 + k 1 l 1 2 + k 2 l 2 2   = 0 (E6)

i.e, - ω 2 + 5000   100   100   - 0.3 ω 2 + 2030   = 0

i.e, 0.3 ω 4 - 3530 ω 2 + 10.14 × 10 6 = 0

∴ ω 1 = 70.5785 r a d / s e c , ω 2 = 82.3732 r a d / s e c

Formas de modo

- 1000 ω 1 2 + 5 × 10 6 × + 0.1 × 10 6 ⊗ = 0

Ou x θ | ω 1 = - 0.1 × 10 6 - 1000 ω 1 2 + 5 × 10 6 = - 5.3476

E x θ | ω 2 = - 0.1 × 10 6 - 1000 ω 2 2 + 5 × 10 6 = 0.05601

Resposta

82.3732 r a d / s e c

- 5.3476

0.05601

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