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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 128

A figura mostra a seção transversal de um rolete esticador. Determine seu momento de inércia de massa e seu raio de giração em relação ao eixo A A ' . (O peso específico do bronze é 84.170   N / m 3 ; do alumínio 27.000   N / m 3 ; do neoprene, 12.260   N / m 3 ).

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Vamos considerar cada componente de cada material individualmente e calcular a sua massa e seu momento de inércia individualmente.

Temos que:

I A A ' = 1 2 m d e x t 2 2 - 1 2 m d i n t 2 2

Substituindo m , temos:

I A A ' = 1 8 ρ t π 4 d e x t 2 d e x t 2 - ρ t π 4 d i n t 2 d i n t 2

I A A ' = 1 8 ρ t π 4 d e x t 4 - d i n t 4

I A A ' = 1 8 ρ t π 4 d e x t 2 - d i n t 2 d e x t 2 + d i n t 2

I A A ' = 1 8 m d e x t 2 + d i n t 2

E:

m = ρ V

m = ρ t π 4 d e x t 2 - d i n t 2

Passo 2

Usando as equações e as respectivas divisões, temos:

m 1 = 84170 9,81 0,0195 0,009 2 - 0,006 2

m 1 = 7,53   g

m 2 = 27000 9,81 0,0165 0,012 2 - 0,009 2

m 2 = 2,86   g

m 3 = 12260 9,81 0,0165 0,027 2 - 0,012 2

m 3 = 12,06   g

A massa total é dada por:

m = ∑ m i

m = 22,45   g

Passo 3

Para os momentos de inércia, temos:

I   A A ' = 1 8 7,53 ⋅ 10 - 3 0,009 2 - 0,006 2

I 1 ,     A A ' = 1,1 ⋅ 10 - 7

I 2 ,     A A ' = 1 8 2,86 ⋅ 10 - 3 0,012 2 - 0,009 2

I 2 ,     A A ' = 8,04 ⋅ 10 - 8

I 3 ,     A A ' = 1 8 12,06 ⋅ 10 - 3 0,027 2 - 0,012 2

I 3 ,     A A ' = 1,31 ⋅ 10 - 6

O momento de inércia total é dado por:

I A A ' = ∑ I i , A A '

I A A ' = 1,51 ⋅ 10 - 6   k g ⋅ m 2

Passo 4

O raio de giração é dado pela equação:

k A A ' 2 = ∑ I i , A A ' ∑ m i

k A A ' = 8,19   m m

Resposta

I A A ' = 1,51 ⋅ 10 - 6   k g ⋅ m 2

k A A ' = 8,19   m m

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