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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 95

O frustum é formado girando-se a área sombreada em torno do eixo x . Determine o momento de inércia de massa I x e expresse o resultado em termos da massa total m do frustum. O material tem uma densidade constante ρ .

Passo 1

O problema pede que encontremos o momento de inércia no eixo x e que expressemos em termos de massa.

Primeiro, vamos pensar sobre a massa:

m = ρ ⋅ V

De forma derivada fica:

d m = ρ ⋅ d V = ρ π y 2 d x

E sabemos que:

y = b a x + b

Então:

d m = ρ π b a x + b 2   d x

d m = ρ π b 2 a 2 x 2 + 2 b 2 a x + b 2 d x

Passo 2

Agora, vamos calcular a massa usando calculo integral, com o que a gente acabou de descobrir no passo 1:

m = ∫ d m = ∫ 0 a ρ π b 2 a 2 x 2 + 2 b 2 a x + b 2 d x

Resolvendo a integral, temos que:

m = 7 3 ρ π a b 2

Passo 3

Agora sim vamos para o momento de inércia no eixo x , para isso a gente sabe que de forma derivada temos:

d I x = 1 2 d m ( y ) 2

Ou seja:

d I x = 1 2 ρ π y 4 d x

E com isso, chegamos á:

d I x = 1 2 ρ π b 4 a 4 x 4 + 4 b 4 a 3 x 3 + 6 b 4 a 2 x 2 + 4 b 4 a x + b 4 d x

Calculamos então, o momento de inércia pela integral:

I x = ∫ d I x = ∫ 0 a 1 2 ρ π b 4 a 4 x 4 + 4 b 4 a 3 x 3 + 6 b 4 a 2 x 2 + 4 b 4 a x + b 4 d x

Resolvendo, a gente encontra:

I x = 31 1 0 ⋅ ρ π a b 4

Está quase acabando, é que o problema está pedindo esse resultado em relação a massa, e sabemos que a massa é:

3 7 m = ρ π a b 2

Então I x pode ser escrito como:

I x = 31 1 0 ρ π a b 2 b 2 = 31 10 3 m 7 b 2

Logo:

I x = 93 70 m b 2

Resposta

I x = 93 70 m b 2

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