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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 34

Uma haste rígida de massa desprezível e comprimento 2 l é articulada no ponto central e é obrigada a mover-se no plano vertical por molas e massas, como mostra a Figura 5.32. Determine as frequências naturais e formas modais do sistema.

Passo 1

Equações do movimento

4 m l 2 θ ¨ = - k l θ ⋅ l - k ( l θ + x ) l

m x ¨ = - k x - n ( l θ + x )

i.e 4 m l 2 θ ¨ + 2 k l 2 θ + k l x = 0

m x ¨ + 2 k x + k l θ = 0

Passo 2

Para movimento harmônico essas equações dão

- 4 m l 2 ω 2 + 2 k l 2   k l   k l   - m ω 2 + 2 k   Θ   x   = 0   0  

Frequência da equação é

4 m 2 ω 4 - 10 k m ω 2 + 3 k 2 = 0

ω 2 = k m 5 4 ∓ 13 4 = 0.3486 k m , 2.1514 k m

ω 1 = 0.5904 k m , ω 2 = 1.4668 k m

Razões da amplitude são

r 1 = x ( 1 ) Θ ( 1 ) = - 4 m l 2 ω 1 2 + 2 k l 2 - k l = - 0.6056 l

r 2 = X ( 2 ) Θ ( 2 ) = - 4 m l 2 ω 2 2 + 2 k l 2   - k l   = 6.6056 l

Formas de modo

x → ( 1 ) = Θ ( 1 )   x ( 1 )   = 1   - 0.6056 l   ⊗ ( 1 )

x → ( 2 ) = Θ ( 2 )   x ( 2 )   = 1   6.6056 l   Θ ( 2 )

Resposta

r 1 =   - 0 . 6056 l

r2 = 6.6056 l

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