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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 22

Um macaco é usado para levantar uma carga W. As hastes do macaco são rígidas, e os collars deslizam livremente no eixo contra as molas de rigidez k 1  e  k 2 (Figura 2.52). Determine a frequência natural de vibração do peso no sentido vertical.

Passo 1

Fala aí pessoal tudo belezinha? O enunciado pede que a gente determine a frequência natural de vibração do peso no sentido vertical.

Temos que considerar as relações angulas a seguir 😉

y = ϵ 2 - ( l s i n ⁡ θ - x ) 2 - l c o s ⁡ θ = ϵ 2 c o s 2 ⁡ θ - x 2 + 2 l x s i n ⁡ θ - l c o s ⁡ θ = l c o s ⁡ θ 1 - x 2 c 4 c o s 2 ⁡ θ + 2 l x s i n ⁡ θ C a c o s 2 ⁡ θ - l c o s ⁡ θ

1 2 k e q x 2 = 1 2 k 1 y 2 + 1 2 k 2 y 2

Em que

y ≈ l c o s ⁡ θ 1 - 1 2 x 2 l 2 c o s 2 ⁡ θ + 1 2 2 l x s i n ⁡ θ l 2 c o s 2 ⁡ θ - l c o s ⁡ θ ≈ x s i n ⁡ θ cos ⁡ θ = x t a n ⁡ θ

Passo 2

Então k e q pode ser expresso como

k e q = k 1 + k 2 t a n 2 ⁡ θ

Equação do movimento é dada por:

m x ¨ + k e q x = 0

Frequência natural é dada então por:

ω a = k e q m = k 1 + k 2 g W t a n ⁡ θ

Resposta

ω a = k e q m = k 1 + k 2 g W t a n ⁡ θ

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