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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 25

A massa m 6 suportada par dois conjuntos de molas orientadas a 30° e 120° em relação ao eixo X, como mostra a Figura 2.55. Deve-se elaborar o projeto de um terceiro par de molas, cada uma com rigidez k 3 , de modo que o sistema tenha uma frequência natural constante ao vibrar em qualquer direção x. Determine a rigidez necessária da mola k3 e a orientação das molas em relação ao eixo X.

Passo 1

O exercício pede que nós determinamos a rigidez necessária da mola k3 e a orientação das molas em relação ao eixo X Deixe α i denotar o ângulo feito pela mola i t t com relação ao eixo X

x= deslocamento da massa pela direção ao longo de o

Se k e q = mola equivalente constante, a equivalência do potencial de energia

1 2 k e q x 2 = 1 2 ∑ i = 1 6   k i x c o s ⁡ θ - α i 2

k e q = ∑ i = 1 6   k i c o s 2 ⁡ e - α i = ∑ i = 1 6   k i c o s ⁡ θ c o t ⁡ α i + s i n ⁡ θ s i n ⁡ α i 2 = ∑ 6   k i c o s 2 ⁡ α i c o s 2 ⁡ θ + s i n 2 ⁡ α i h 2 θ

+ 2 ∑ i = 1 6   c o s ⁡ α i w ∞ α 2 c o s ⁡ θ - e

Passo 2

Frequência natural é dada por:

ω n = k e q m

Para ω n ser independente de o

∑ i = 1 6   k i cos 2 ⁡ α i = ∑ i = 1 6   k i h 2 α i … … E 1

E

∑ i = 1 6   k i c o s ⁡ α i s i n ⁡ α i = 0 ⋯ E 2

E1 e E2 podem ser reescritas

∑ i = 1 6   k i 1 2 + 1 2 c o s ⁡ 2 α i = ∑ i = 1 6   k i 1 2 - 1 2 c o s ⁡ 2 α i

E 1 2 ∑ i = 1 6   k i sin ⁡ 2 α i = 0

∑ i = 1 6   k i c o s ⁡ 2 α i = 0 … E 3

∑ i = 1 6   x i s i n ⁡ 2 α 2 = 0 … E 4

Passo 3

Relacionando (E3) e (E4) temos:

k1  c o s ⁡ 60 ∘ + π 2 c o t ⁡ 240 ∘ + k 3 c o s ⁡ 2 φ y + k 1 c o t ⁡ 420 ∘ + π t c o s ⁡ 600 ∘ + k 3 c o s ⁡ 160 ∘ + 2 α 1 = 0

k 1 s i n ⁡ 60 ∘ + k 2 s i n ⁡ 240 ∘ + k 3 s i n ⁡ 2 α 3 + k 1 s i n ⁡ 420 ∘ + k 2 s i n ⁡ 600 ∘ + k 3 s i n ⁡ 360 ∘ + 2 α 1 = 0

i + e ;     k 1 - k 2 + 2 k 3 c o s ⁡ 2 α 3 = 0 3 + k 1 - 3 w 2 + 2 k 8 s i n ⁡ 2 α 3         = 0 2 k ⁡ 2 α 3 = k 2 - k 1 … E 5 2 k 3 s i n ⁡ 2 α 3 = x k 2 - k 1 - E 6

Adicionando (E5) e (E6)

4 k 3 2 = k 2 - k 1 2 ( t + 3 ) ∴ k 3 = ± k 2 - k 1 ⇒ k 3 = k 2 - k 1

Dividindo (E6) por (E5)

t a n ⁡ 2 α 3 = 3 ∴ α 1 = 1 2 t a n - 1 ⁡ ( 3 ) = 30 ∘

Resposta

α 1 = 1 2 t a n - 1 ⁡ ( 3 ) = 30 ∘

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