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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 55

Mostre que as frequências naturais do sistema apresentado na figura 6.6(a), com k 1 = 3 k ,   k 2 = k 3 = k ,   m 1 = 4 m ,   m 2 = 2 m ,   m 3 = m ,   s ã o   d a d a s   p o r   ω 1 = 0,46 k / m ,   ω 2 = k / m   e   ω 3 = 1,34 k / m . Determine os autovetores do sistema.

Passo 1

Falaaa meus amigos! Como vocês estão? Vamos pra mais uma questãozinha desse assunto?

Bom, nessa questão podemos usar a ideia que foi usada no problema 6.46 para as matrizes de equações de movimento para um movimento harmônico, que com os dados que foram pedidos nesse enunciado, vão resultar em:

- 4 ω 2 m + 4 k             - k                     0 - k       - 2 ω 2 m + 2 k         - k 0                     - k           - ω 2 m + k x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

A equação de frequência vai ser:

- 4 ω 2 m + 4 k - 2 ω 2 m + 2 k - ω 2 m + k - k 2 + k - k - ω 2 m + k = 0

Sabendo que α = ω 2 m k , nós temos que:

- α + 1 8 α 2 - 16 α + 3 = 0

As raízes dessa equação serão:

α 1 = 0,209431 → ω 1 = 0,457636 k / m

α 2 = 1,00000 → ω 2 = 1 k / m

α 3 = 1,790569 → ω 3 = 1,338121 k / m

Passo 2

Dito isso, e pegando o sistema que foi feito por definição do movimento harmônico, nós temos:

x 2 j x 1 j = - 4 m ω j 2 + 4 k k

x 3 j x 1 j = - 1 + - 2 m ω j 2 + 2 k - 4 m ω j 2 + 4 k k 2

Sendo assim, para o modo j t h , nós temos que:

x → j = x 1 → j 1 - 4 m ω j 2 + 4 k k - 1 + - 2 m ω j 2 + 2 k - 4 m ω j 2 + 4 k k 2

Por fim, as formas modais serão:

x → 1 = 1 3,162276 4 x 1 ( 1 ) ,   x → ( 2 ) = 1 0 - 1 x 1 ( 2 ) ,   x → ( 3 ) = 1 - 3,162276 4 x 1 ( 3 )

Resposta

α 1 = 0,209431 → ω 1 = 0,457636 k / m

α 2 = 1,00000 → ω 2 = 1 k / m

α 3 = 1,790569 → ω 3 = 1,338121 k / m

x → 1 = 1 3,162276 4 x 1 ( 1 ) ,   x → ( 2 ) = 1 0 - 1 x 1 ( 2 ) ,   x → ( 3 ) = 1 - 3,162276 4 x 1 ( 3 )

Ver Outros Exercícios desse livro