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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 22.Problemas - Ex. 42

42. Se o modelo de bloco e mola é submetido à força periódica F = F 0 cos ⁡ ω t , demonstre que a equação de movimento diferencial é x ¨ + ? k m x = F 0 m cos ⁡ ω t , onde x é medido a partir da posição de equilíbrio do bloco. Qual é a solução geral dessa equação?

Passo 1

Aplicando a segunda lei de Newton ao nosso sistema, vem que:

∑ F x = m a x

F 0 cos ⁡ ω t - k x = m x ¨

x ¨ + k m x = F 0 m cos ⁡ ω t

x ¨ + p 2 x = F 0 m cos ⁡ ω t

Passo 2

A solução geral da equação diferencial acima é da seguinte forma:

x = x c + x p

A solução complementar é:

x c = A sin ⁡ p t + B cos ⁡ p t

A solução particular é dada por:

s c = C cos ⁡ ω t

x p ¨ = - C ω 2 cos ⁡ ω t

Passo 3

Substituindo essas expressões na equação diferencial:

- C ω 2 cos ⁡ ω t + p 2 C cos ⁡ ω t = F 0 m cos ⁡ ω t

Então,

C = F 0 m p 2 - ω 2 = F 0 k 1 - ω p 2

A solução geral da equação é dada por:

x = A sin ⁡ p t + B cos ⁡ p t + F 0 k 1 - ω p 2 cos ⁡ ω t

Resposta

x = A sin ⁡ p t + B cos ⁡ p t + F 0 k 1 - ω p 2 cos ⁡ ω t

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