Os modos normais de um sistema com dois graus de liberdade são ortogonais se X ( 1 ) T [   m ] X → ( 2 ) = 0 . Prove que as formas modais do sistema mostrado na Figura 5.3 ( a ) são ortogonais.

Passo 1

E ai galerinha tudo beleza? O enunciado pede que a gente. prove que as formas modais do sistema mostrado na Figura 5.3 ( a ) são ortogonais.

Para o sistema da figura 5.3

x → ( 1 ) ⊤ [ m ] x → ( 2 ) = x 1 ( 1 )         x 2 ( 1 ) m 1 0 0 m 2 x 1 ( 2 ) x 2 ( 2 ) = x 1 ( 1 ) x 1 ( 2 ) 1 , r 1 m 1 0 0 m 2 1 r 2 = x 1 ( 1 ) x 1 ( 2 ) m 1 + m 2 r 1 r 2

Porém m 1 + m 2 r 1 r 2 = m 1 + m 2 k 2 - m 2 ω 1 2 + k 2 + k 3 k 2 - m 2 ω 2 2 + k 2 + k 3 ≡ N D

Em que N = m 1 - m 2 ω 1 2 + k 2 + k 3 - m 2 ω 2 2 + k 2 + k 3 + m 2 k 2 2 e

D = - m 2 ω 1 2 + k 2 + k 3 - m 2 ω 2 2 + k 2 + k 3

Passo 2

Por substituição

ω 1 2 , ω 2 2 = k 1 + k 2 m 2 + k 2 + k 3 m 1 2 m 1 m 2 ∓ 1 2 k 1 + x 2 m 2 + k 2 + k 3 m 1 m 1 m 2 2

- 4 k 1 + k 2 k 2 + k 3 - k 2 2 m 1 m 2 1 / 2 ,

Nós obtemos

N = m 1 m 2 2 ω 1 2 ω 2 2 - m 1 m 2 k 2 ω 2 2 - m 1 m 2 k 3 ω 2 2 - m 1 m 2 k 2 ω 1 2

+ m 1 k 2 2 + m 1 k 2 k 3 - m 1 m 2 k 3 ω 1 2 + m 1 k 2 k 3 + m 1 k 3 2 + m 2 k 2 2

= m 1 m 2 2 k 1 + k 2 m 2 + k 2 + k 3 m 1 2 m 1 m 2 2 - 1 4 k 1 + k 2 m 2 + k 2 + k 1 m 1 m 1 m 2 2

- 4 k 1 + k 2 k 2 + k 3 - x 2 2 m 1 m 2 - m 1 m 2 k 2 k 1 + k 2 m 2 + k 2 + k 3 m 1 m 1 m 2

- m 1 m 2 k 3 k 1 + k 2 m 2 + k 2 + k 3 m 1 m 1 m 2 + m 1 k 2 2 + m 2 k 2 2 + 2 m 1 k 2 k 3 + m 1 k 3 2 =0

Resposta

- m 1 m 2 k 3 k 1 + k 2 m 2 + k 2 + k 3 m 1 m 1 m 2 + m 1 k 2 2 + m 2 k 2 2 + 2 m 1 k 2 k 3 + m 1 k 3 2 = 0

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