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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 22.Problemas - Ex. 1

Uma mola é deformada 175   m m por um bloco de 8   k g . Se o bloco é deslocado 100   m m para baixo de sua posição de equilíbrio e submetido a uma velocidade para baixo de 1,50   m / s , determine a equação diferencial que descreve o movimento. Presuma que o deslocamento positivo é para baixo. Também determine a posição do bloco quando t = 0,22   s .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

+ ↓ ∑ F y = m a y

m g - k y + y e s t á t i c o = m y ¨

Sabemos que k y e s t á t i c o = m g , logo:

y ¨ + k m y = 0

Da equação anterior, podemos dizer que k = m g y e s t á t i c o :

k = 8 9,81 0,175

k = 448,46   N / m

Agora que descobrimos k , podemos definir um p = k m

p = 448,46 8

p = 7,487

Logo:

y ¨ + 7,487 2 y = 0

y ¨ + 56,1 y = 0

A solução dessa EDO tem a forma:

y = A sin ⁡ p t + B cos ⁡ p t

v = y ˙ = A p cos ⁡ p t - B p sin ⁡ p t

Aplicando as condições iniciais onde:

t = 0

y = 0,1

v = 1,5

Temos:

0,1 = A sin ⁡ 0 + B cos ⁡ 0

B = 0,1   m

E:

1,5 = A 7,487 cos ⁡ 0 - 0,1 7,587 sin ⁡ 0

A = 1,5 7,587

A = 0,2003   m

A nossa equação será:

y = 0,2003 sin ⁡ 7,487 t + 0,1 cos ⁡ 7,487 t

No momento t = 0,22   s , a posição será:

y = 0,2003 sin ⁡ 7,487 ( 0,22 ) + 0,1 cos ⁡ 7,487 ( 0,22 )

y = 0,192   m

Resposta

y ¨ + 56,1 y = 0

y = 0,192   m

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