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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 22.Problemas - Ex. 6

Uma mola é deformada 200   m m por um bloco de 15   k g . Se o bloco é deslocado 100   m m para baixo de sua posição de equilíbrio e submetido a uma velocidade para baixo de 0,75   m / s , determine a equação que descreve o movimento. Qual é o ângulo de fase? Suponha que o deslocamento positivo é para baixo.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

+ ↓ ∑ F y = m a y

m g - k y + y e s t á t i c o = m y ¨

Sabemos que k y e s t á t i c o = m g , logo:

k = 9,81 15 0,2

k = 735,75   N / m

y ¨ + k m y = 0

Temos que p = k m .

p = 735,75   15

p = 7

Logo:

y ¨ + 7 2 y = 0

y ¨ + 49 y = 0

A solução dessa EDO tem a forma:

y = A sin ⁡ p t + B cos ⁡ p t

v = y ˙ = A p cos ⁡ p t - B p sin ⁡ p t

Aplicando as condições iniciais onde:

t = 0

y = 0,1

v = v 0 = 0,75

Temos:

0,1 = A sin ⁡ 0 + B cos ⁡ 0

B = 0,1   m

E:

0,75 = A 7 cos ⁡ 0 - 0,1 7 sin ⁡ 0

A = 0,107   m

A nossa equação será:

y = 0,107 sin ⁡ 7 t + 0 , 1 cos ⁡ 7 t

O ângulo de fase é dado por:

ϕ = tan - 1 ⁡ B A

ϕ = tan - 1 ⁡ 0,1 0,107

ϕ = 43 °

Resposta

y = 0,107 sin ⁡ 7 t + 0,1 cos ⁡ 7 t

ϕ = 43 °

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