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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 17

Mostre que as funções normais correspondentes a vibração longitudinal da barra mostrada na Figura 8.26 sao ortogonais.

Passo 1

E aí, galerinha!

Bom! Bora lá pro que interessa!

Para a equação de movimento para vibração livre, temos que...

c 2 ∂ 2 u ∂ x 2 = ∂ 2 u ∂ t 2   ( i )

Assumindo separação de variáveis na equação, temos que...

u x , t = U x ⋅ T ( t )

Então, ficamos com...

c 2 d 2 U d x 2 T = U d 2 U d t 2

c 2 1 U d 2 U d x 2 = 1 T d 2 T d t 2 = α = - ω 2   ( i i )

Rearranjando;

c 2 d 2 U ( x ) d x 2 + ω 2 U x = 0   ( i i i )  

d 2 T ( t ) d x 2 + ω 2 T t = 0   ( i v )

Passo 2

Para mostrar que a no lado direito da equação ( i i ) é negativo, precisamos multiplicar a equação ( i i i ) por U ( x ) e integrando de x a l :

c 2 ∫ 0 l U ( x ) d 2 U d x 2 d x = a ∫ 0 l U x 2 d x

Considerando a integral do lado esquerdo, temos que...

I = ∫ 0 l U x d 2 U x d x 2 d x

E integrando ela por partes, isto é...

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Chegamos ao seguinte resultado:

I = ∫ 0 l U x d 2 U x d x 2 d x

I = U l ⋅ d U l d x - U 0 ⋅ d U 0 d x - ∫ 0 l d U x d x 2 d x

Uma vez que pras condições de contorno, temos que...

U 0 = 0

A equação anterior fica assim;

A E d U l d x = - k U ( l )

Com x = l . Multiplicando a equação anterior por U ( l ) obtemos que...

U l ⋅ d U l d x = - k U l 2 < 0

E com isso, conseguimos então a relação de ortogonalidade!

Resposta

U l ⋅ d U l d x = - k U l 2 < 0

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