Enunciado

Um torque externo M t t = M t 0 cos ⁡ ω t e aplicado a extremidade livre de um eixo uniforme fixo-livre. Determine a vibração de regime perrnanente do eixo...

Passo 1

E aí, galerinha!

Bom! Bora lá pro que interessa!

Antes de mais nada, vamo pra uma introduçãozinha!

Pois muito bem! A equação de movimento do sistema, é dada por...

c 2 ∂ 2 θ ∂ x 2 = ∂ 2 θ ∂ t 2   ( i )

E para o estado de vibração, temos que...

θ x , t = X x ⋅ cos ⁡ ω t   ( i i )

Passo 2

Combinando essas duas equações anteriores, temos que...

d 2 X d x 2 + ω 2 c 2 x = 0

Cuja solução é dada por...

X x = A cos ⁡ ω x c + B sen ⁡ ω x c

Passo 3

Aplicando as condições de contorno... Para θ ( x = 0 , t ) , temos que X 0 = 0 ...

A cos ⁡ ω x c + B sen ⁡ ω x c = 0

A cos ⁡ ω 0 c + B sen ⁡ ω 0 c = 0

A = 0

Na extremidade livre, por sua vez, temos que...

G J   ∂ θ ∂ x x = l , t = M t 0 cos ⁡ ω t

B ⋅ G J ω c cos ⁡ ω l c cos ⁡ ω t = M t 0 cos ⁡ ω t

B = M t 0 c G J ω sec ⁡ ω l c

E então, a equação de θ ( x , t ) vai ser dada por...

θ x , t = M t 0 c G J ω sec ⁡ ω l c sen ⁡ ω x c cos ⁡ ω t

Resposta

θ x , t = M t 0 c G J ω sec ⁡ ω l c sen ⁡ ω x c cos ⁡ ω t

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