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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 23

Resolva o Problema 8.21 se uma extrernidade do eixo for fixa e a outra, livre.

Passo 1

E aí, galerinha!

Bom! Bora lá pro que interessa!

Pois muito bem! Para um sistema torcional, temos a seguinte equação...

θ x , t = A cos ⁡ ω x c + B sen ⁡ ω x c ( C cos ⁡ ω t + D sen ⁡ ω t )

E como podemos ver pela nossa figura, onde uma extremidade está fixa e a outra livre...

Em x = 0 , temos que...

θ x = 0 , t = 0

Logo, substituindo x = 0 na equação de θ ( x , t ) :

A cos ⁡ ω x c + B sen ⁡ ω x c C cos ⁡ ω t + D sen ⁡ ω t = 0

A cos ⁡ ω ⋅ 0 c + B sen ⁡ ω ⋅ 0 c C cos ⁡ ω t + D sen ⁡ ω t = 0

A C cos ⁡ ω t + D sen ⁡ ω t = 0

A melhor chance disso aí dar zero é quando...

A = 0

Passo 2

E em x = l , temos que...

∂ θ ∂ x l , t = 0

Logo, substituindo x = l na equação de ∂ θ ∂ x ( x , t ) :

- A ω c cos ⁡ ω x c + B ω c sen ⁡ ω x c C cos ⁡ ω t + D sen ⁡ ω t = 0

- A ω c cos ⁡ ω l c C cos ⁡ ω t + D sen ⁡ ω t = 0

A melhor chance disso aí dar zero é quando...

cos ⁡ ω l c = 0

E o seno vale zero quando...

cos ⁡ n π 2 = 0 ;     n = 1,2 , …

Logo, temos que...

ω n l c = n - 1 2 π

ω n = n - 1 2 π l c

Se c = G / ρ :

ω n = n - 1 2 π l G ρ   ,   n = 1,2 , 3 …

ω n = n - 1 2 π G ρ l 2   ,   n = 1,2 , 3 …

Resposta

ω n = n - 1 2 π G ρ l 2   ,   n = 1,2 , 3 …

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