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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 65

Mostre que o sistema de forças hidrostáticas atuantes sobre uma superfície plana submersa de área A pode ser reduzida a uma força P no centroide C da superfície e dois binários. A força P é perpendicular a superfície e sua intensidade é P = γ A y - sen ⁡ θ , sendo γ o peso específico do líquido e os binários são M x ' = γ I - x ' sen ⁡ θ i e M y ' = γ I - x ' y ' sen ⁡ θ j sendo I - x ' y ' = ∫ x ' y ' d A (ver Seção 9.8 ). Observe que os binparios independem da profundidade a que a superfície está submersa.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Consideremos uma profundidade arbitrária:

d = y sen ⁡ θ

A pressão é dada por:

p = γ d

p = γ y sen ⁡ θ

A força hidrostática será:

d R = γ y sen ⁡ θ d A

∑ F = 0

P = ∫ d R

P = γ y - sen ⁡ θ A

Passo 2

Temos que:

∑ M x ' = - P y - - M x ' = ∫ - γ d R

Logo:

- P y - - M x ' = - γ sen ⁡ θ I x

Ou:

M x ' = - P y - - γ sen ⁡ θ I x

Substituindo, temos que:

M x ' = - γ y - sen ⁡ θ A y - - γ sen ⁡ θ I x

M x ' = γ sen ⁡ θ - y - 2 a + I x

Pelo teorema dos eixos paralelos temos que:

M x ' = γ sen ⁡ θ + I x '

Passo 3

A analise do eixo y ' nos proporciona:

∑ M y ' = P x - + M y ' = ∫ x d R

Logo:

P x - + M y ' = γ sen ⁡ θ I x y

Ou:

M y ' = - P x - + γ sen ⁡ θ I x y

Substituindo, temos que:

M y ' = - γ y - sen ⁡ θ A x - + γ sen ⁡ θ I x y

M y ' = γ sen ⁡ θ - x - y - A + I x y

Pelo teorema dos eixos paralelos temos que:

M y ' = γ sen ⁡ θ + I x ' y '

Resposta

M x ' = γ sen ⁡ θ + I x '

M y ' = γ sen ⁡ θ + I x ' y '

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