Enunciado

67. Quando y é nulo, as molas sustentam uma força de 60   l b . Determine a intensidade das forças aplicadas F e - F necessárias para afastar o ponto A do ponto B de uma distância y = 2   p é s . As extremidades das cordas C A D e C B D estão presas aos anéis em C e D .

Passo 1

Para achar essa força que o enunciado pede, vamos usar o fato do sistema está em equilíbrio, ao nosso favor, logo:

∑ F x = 0

∑ F y = 0

Mas para usarmos isso temos que decompor as forças exercidas pelas cornas em sus componentes x e y .

Uma coisa a se notar antes de continuarmos, é que o nosso sistema é simétrico tanto em x , quanto em y , quer dizer que tudo que acontece de um lado, acontece do outro, então podemos escolher os pontos A e C para analisar as condições de equilíbrio e podemos analisar a condição da direção x em C e a condição da direção y em A .

Temos que decompor a forças realizada pelas cordas T em suas componentes x e y para podermos usar as equações acima.

Faremos isso notando que a força T atua na mesma direção da corda e que quando y = 2 , podemos formar quatro triângulos onde T está na hipotenusa que vale 2   p é s , o cateto vertical vale 1   p é e o horizontal por Pitágoras vale 2 2 - 1 2 = 3 .

Tendo isso podemos decompor T através de uma relação de proporcionalidade dos lados desse triangulo, onde a componente horizontal vale 3 2 T e a componente vertical vale 1 2 T .

Vamos analisar essas equações então.

Passo 2

Primeiro vamos analisar o ponto A , então temos que:

∑ F y = 0

F - 1 2 T - 1 2 T = 0

⇒ F - T = 0

⇒ F = T

Encontramos um resultado bem útil, que pode nos ajudar na próxima análise.

Passo 3

Vamos analisar o ponto C , então temos que:

∑ F y = 0

- F E + 3 2 T + 3 2 T = 0

Onde F E é a força elástica, substituindo o resultado do passo 2 nessa equação, temos:

- F E + 3 2 F + 3 2 F = 0

⇒ F E = 3 F

⇒ F E = 1,732 F

Mas e agora, quem é F E ? Bem, ela é a força elástica, como já foi dito, e a força elástica é dada por:

F e = k s

Onde s é o deslocamento da mola da posição inicial para posição final e k é a constante de rigidez da mola que no caso vale 40   l b / p é . Então precisamos achar o valor de s .

Passo 4

Como foi dito no passo anterior, s é o deslocamento da posição inicial até a posição final.

Segundo o enunciado, a mola está relaxada quando y = 0 as molas realizam uma força de 60   l b , então:

60 = 40 ⋅ s

⇒ s 1 = 1,5

Então essa é a posição inicial da mola, falta a final agora.

Quando y = 0 a distância entre C e D é igual a 4   p é s (só olhar a figura), mas quando y = 2 a distância entre esses dois pontos vale 2 3 , então a distância de C até o ponto médio de C D é essa diferença divido por 2 . Esse resultado é igual ao quanto foi adicionado no comprimento da mola. Então:

4 - 2 3 2 = 0,267

Então temos que:

s = 1,5 + 0,267

= 1,767

Tendo s podemos achar F E , que vale:

F E = 40 ( 1,767 )

= 70,68   l b

Passo 5

Então usando a seguinte equação do passo 3 :

F E = 1,732 F

Com o resultado obtido acima, temos:

70,68 = 1,732 F

F = 40,8   l b

Resposta

F = 40,8   l b

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