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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 14ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 14º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 88

O paraboloide é formado girando-se a área sombreada em torno do eixo x . Determine o raio de giração k . A densidade do material é ρ = 5   M g / m 3 .

Passo 1

O problema pede que encontremos o raio de giração no eixo k .

Primeiro, vamos pensar sobre a massa:

m = ρ ⋅ V

De forma derivada fica:

d m = ρ ⋅ d V = ρ π y 2 d x

E sabemos que:

y 2 = 50 x

Então:

d m = ρ π ( 50 x )   d x

Passo 2

Agora, vamos calcular a massa usando calculo integral, com o que a gente acabou de descobrir no passo 1:

m = ∫ d m = ∫ 0 200 ρ π ( 50 x )   d x

Resolvendo a integral, temos que:

m = 10 6 ρ π

Passo 3

Agora sim vamos para o momento de inércia no eixo x , para isso a gente sabe que de forma derivada temos:

d I x = 1 2 d m ( y ) 2

Ou seja:

d I x = 1 2 ρ π 50 x d x 50 x = ρ π 2 2500 x 2   d x

Calculamos então, o momento de inércia pela integral:

I x = ∫ d I x = ∫ 0 200 ρ π 2 2500 x 2   d x

Resolvendo, a gente encontra:

I x = 3,333 ⋅ 10 9 ⋅ ρ π

Agora, por fim iremos calcular o raio de geração:

k x = I x m = 3,333 ⋅ 10 9 ⋅ ρ π 10 6 ⋅ ρ π

k x = 57,7   m m

Resposta

k x = 57,7   m m

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