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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 42

Como parte de uma exposição ao ar livre, um modelo C da Terra de 6 kg está preso aos fios AC e BC e gira a uma velocidade escalar constante v no círculo horizontal mostrado na figura. Determine o intervalo de valores admissíveis de v para que ambos os fios permaneçam esticados e para que a tração em cada um dos dois fios não ultrapasse 120 N.

Passo 1

E ai gurizada tudo certinho? O enunciado pede que a gente encontre o intervalo de valores admissíveis de v para que ambos os fios permaneçam esticados e para que a tração em cada um dos dois fios não ultrapasse 120 N.

Primeira começamos trazendo as equações vem comigo :D

a C = a a = v C 2 ρ

onde

ρ = 1,5   m

Passo 2

← + Σ F x = m C a C :         T C A sin ⁡ 40 ° + T C B sin ⁡ 15 ° = W C g v C 2 ρ

+ ↑ Σ F y = 0 :       T C A cos ⁡ 40 ° - T C B cos ⁡ 15 ° - W C = 0

Passo 3

Observe que a Eq. (2) implica que

  1. quando

    2. T C B = ( T C B ) max ,         T C A = ( T C A ) max

T C B = ( T C B ) min ,         T C A = ( T C A ) min

Caso 1: TCA é máximo.

Seja

T C A = 120   N

Eq (2)

120   N cos ⁡ 40 ° - T C B cos ⁡ 15 ° - 6 = 0

ou

T C B = 97,72   N

( T C B ) ( T C A ) max < 120     O.K.

( T C B ) max = 97,72   N

Passo 4

Eq. (1)

( v c 2 ) ( T C A ) max = 9,81   m / s 2 1,5 6 26 sin ⁡ 40 ° + 97,72   sin ⁡ 15 °  

( v C ) ( T C A ) max = 103,01   m /s

Agora nós formamos

cos ⁡ 15 ° 1 + sin ⁡ 15 ° 2

T C A sin ⁡ 40 ° cos ⁡ 15 ° + T C A cos ⁡ 40 ° sin ⁡ 15 ° = W C g v C 2 ρ cos ⁡ 15 ° + W C sin ⁡ 15 °

ou

T C A sin ⁡ 55 ° = W C g v C 2 ρ cos ⁡ 15 ° + W C sin ⁡ 15 °

( v c ) max   ocorre quando   T C A = ( T C A ) max

( v C ) max = 12.31 m   /s

Passo 5

Caso 2: TCA é mínimo.

Porque ( T C A ) min   ocorre quando T C B = ( T C B ) min ,

seja T C B = 0 (note que o fio BC não será provocado).

Eq. (2)

T C A cos ⁡ 40 ° - 120 N = 0

ou

T C A = 1 19,23   N < 120 N     O.K.

Nota: Eq. (3) implica que quando T C A = ( T C A ) min ,   v C = ( v C ) min . Então

Eq. (1)

( v C 2 ) min = 9,81   m / s 2 1,5   120 N 1 19,23   N sin ⁡ 40 °

ou

( v C ) min = 9 . 39   m /s

0 < T C A ,         T C B ≤ 120   N

Resposta

9 . 39   m /s < v C ≤ 12.31 m /s

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