Enunciado

O pêndulo consiste em uma barra esbelta de 3   k g e placa fina de 5   k g . Determine a localização y - do centro de massa G do pêndulo; depois, determine o momento de inércia de massa do pêndulo em relação a um eixo perpendicular à página e que passa por G .

Passo 1

O problema pede que encontremos a localização do y - , que é a coordenada de G , o centro de massa do nosso elemento. Também o momento de inércia do pêndulo em relação a um eixo perpendicular à página e que passa por G .

Vamos começar calculando o centro de massa y - , então vamos lá. Temos um elemento composto da haste e da placa. O centroide da junção deles vai ser:

y - = ∑ y - m ∑ m = y - b m b + y - p m p m b + m p

Aí o centoide da barra vai ser no meio dela. Ela tem distância de 1   m da nossa origem:

y - = 1   m

E a massa ele diz que m b = 3   k g .

Para a placa, o centoide é no meio da altura da placa. A distância desse ponto até a origem é

y - p = 2 + 0,5 2 = 2,25   m

Aí o centroide fica:

y - = ∑ y - m ∑ m = 1 3 + 2,25 ( 5 ) 3 + 5 = 1,781   m

Essa é coordenada y de G .

Passo 2

Agora, vamos descobrir as formulas dos momentos de inércia da barra e do bloco(placa), que podemos encontrar no final do livro, e são dados por:

I G b a r r a = 1 12 m l 2

I G b l o c o = 1 12 m ( a 2 + b 2 )

Mas como o centoide de cada uma delas separadamente em relação a z não passa por G , temos que usar o teorema dos eixos paralelos.

Para ele precisamos das massas (que o enunciado já deu) e das distâncias de G até o centroide de cada parte do nosso elemento.

Para achar essas distâncias, a gente faz a diferença entre a coordenada y de G (o centroide de todo o elemento) e as coordenadas dos centroides da haste e da placa. Assim:

d b = y - - y b - = 1,781 - 1

d p = y - - y p - = 1,781 - 2,25

Passo 3

E finalmente calculando o momento de inercia com as informações que temos e usando o terema dos eixos paralelos, em relação ao eixo z , fica:

I G = ∑ ( I G + m d 2 )

Então:

I G = 1 12 3 2 2 + 3 1,781 - 1 2 + 1 12 5 0,5 2 + 1 2 + 5 2 , 25 - 1,781 2

Calculando isso, chegamos á:

I G = 4,45   k g ⋅ m 2

Resposta

y - = 1,781   m

I G = 4,45   k g ⋅ m 2

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