Enunciado

Se F possui uma intensidade de 250   N , determine a intensidade de suas componentes projetadas que atuam ao longo do eixo x e do cabo A C .

Passo 1

Show de bolinhas galera, tudo beleza com vocês?! Saca só, nesse exercício aqui, o enunciado nos deu uma força F atuando em um ponto A através de uma linha de ação A B como na figura a seguir:

Com base nesses dados, o enunciado nos pede pra calcular o valor da projeção da força F sobre a linha de ação A C e sobre o eixo x .

Mas calma lá meu patrão, vamos devagarinho. A gente que para projetar um vetor a sobre um vetor b , utilizamos a fórmula:

P b a = a ,   b b b

Onde a ,   b representa o produto interno entre a e b , enquanto que b representa o módulo do vetor b . Então pra gente projetar a força F em alguma reta precisamos saber a expressão vetorial da nossa força F e também da nossa reta.

Passo 2

Bom galaerinha, primeiro vamos encontrar a equação vetorial da força F que iremos trabalhar, pra isso vamos lembrar que podemos expressar a equação vetorial da força como:

F = F n →

Onde n → é o vetor unitário da direção de F . Sabemos que a direção da força F é no sentido do ponto A para o ponto B , onde esse pontos são expressos como:

A = 4,5 ; 0 ; 0 ,     B = 0 ; 0,9 ; 2,4

De modo que o segmento A B - é orientado como:

A B - = B - A

A B - = 0 ; 0,9 ; 2,4 - 4,5 ; 0 ; 0

A B - = - 4,5 ; 0,9 ; 2,4

Então isso quer dizer que o vetor normal dessa direção, n → A B , será dado como:

n → A B = - 4,5 ; 0,9 ; 2,4 - 4,5 2 + 0,9 2 + 2,4 2

n → A B = - 4,5 ; 0,9 ; 2,4 5,18

n → A B = - 0,8 7 ; 0 , 17 ; 0 , 4 6

Ou então:

n → A B = - 0,87 i ^ + 0,17 j ^ + 0,4 6 j ^

Iradoso, e como a força F possui um módulo de 250   N , quer dizer que sua equação vetorial vai ser dada como:

F = F n → A B

F = 250 - 0,8 688 i ^ + 0,17 38 j ^ + 0,4 634 j ^

F = - 217 , 2 i ^ + 4 3,4 j ^ + 1 15 , 9 k ^

Então de cara já matamos também qual é a projeção da força no eixo x , afinal essa componente é quem acomponha o vetor unitário i ^ , então a intensidade de F x será:

F x = 217,2

Passo 3

Agora pra gente projetar a força na linha A C , precisamos primeiro encontrar o vetor diretor desse segmento, e pra isso vamos precisamos dos pontos A e C , que são dados como:

A = 4,5 ; 0 ; 0 ,     C = 0 ; - 2,4 ; 3 , 6

Então o vetor diretor será:

A C → = C - A

A C → = 0 ; - 2,4 ; 3,6 - 4,5 ; 0 ; 0

A C → = - 4,5 ; - 2,4 ; 3,6

Ou então:

A C → = - 4,5 i ^ - 2,4 j ^ + 3,6 k ^

E seu módulo é:

A C → = - 4,5 2 + - 2,4 2 + 3,6 2

A C → = 6,24

Então vamos ter que a projeção da força F sobre esse vetor será dada como:

F A C = F ,   A C → A C → 2 A C →

Tal que o produto interno entre a força e o vetor será:

F ,   A C → = - 217,2 i ^ + 43,4 j ^ + 115,9 k ^ ⋅ - 4,5 i ^ - 2,4 j ^ + 3,6 k ^

F ,   A C → = 977,4 - 104,16 + 417,24

F ,   A C → = 1290,5

Sendo assim, vamos obter que a projeção de F sobre A C será:

F A C = 1290,5 6,24 2 - 4,5 i ^ - 2,4 j ^ + 3,6 k ^

F A C = 33,14 - 4,5 i ^ - 2,4 j ^ + 3,6 k ^

F A C = - 149,1 i ^ - 79,5 j ^ + 119,3 k ^

Isso quer dizer que a intensidade dessa força vai ser:

F A C = - 149,1 2 + - 79,5 2 + 119,3 2

F A C = 206,7   N

Prontinha galerinha, é isto!!

Resposta

F x = 217,2   N

F A C = 206 , 7   N

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