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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 21.Problemas - Ex. 72

O pião de 0,5 kg tem um centro de gravidade no ponto G. Se ele rotaciona em torno de seu eixo de simetria e realiza uma precessão em torno do eixo vertical a taxas constantes ω s = 60   r a d / s e ω p = 10   r a d / s , respectivamente, determine o ângulo θ em regime estacionário. O raio de giração do pião em relação ao eixo z é k z = 25   m m , e em relação aos eixos x e y é k x = k y = 100   m m .

Passo 1

Uma vez que ψ ˙ = ω s = 60   r a d / s e ϕ ˙ = ω p = - 10   r a d / s e θ são constantes, o pião está sob precessão estacionária conforme ilustrado na figura a seguir:

Passo 2

Sendo assim, podemos agora calcular o momento de inércia do sistema em relação aos eixos principais:

I z = 0,5 0,025 2 → I z = 3,125 10 - 4     k g . m 2

I = I x = I y = 0,5 0,1 2

I = I x = I y = 0,005   k g . m 2

Passo 3

Sendo assim, podemos aplicar a equação de momento com relação ao eixo x:

∑ M x = - I ϕ ˙ 2 s e n θ c o s θ + I z ϕ ˙ s e n θ ( ϕ ˙ c o s θ + ψ ˙ )

- 0,5 9,81 s e n θ 0,075 = - 0,005 - 10 2 s e n θ c o s θ + 3,125 10 - 4 - 10 s e n θ - 10 c o s θ + 60  

Resolvendo para θ :

θ = 67,37 °

Resposta

θ = 67,37 °

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