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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 21.Problemas - Ex. 35

Uma placa fina, tendo uma massa de 4   k g , etá suspensa em um de seus cantos por uma junta esférica O . Se uma pedra atinge a placa perpendicular à sua superfície em um canto adjacente A com um impulso I x = - 60 i   N ⋅ s , determine o eixo instantâneo de rotação para a placa e o impulso criado em O .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Por definição, temos que:

H O 1 + ∑ ∫ M O d t = H O 2

Aplicando ao problema, temos que:

0 + r A / O × I s = H O 2

0 + - 0,2 0,7071 j - 0,2 0,7071 k × - 60 i = I O x ω x i + I O y ω y j + I O z ω z k

Organizando cada componente, temos:

0 = I O x ω x

8,4853 = I O y ω y

- 8,4853 = I O z ω z

Vamos imaginar um novo sistema de coordenadas que passa no centro da placa ( x ' , y ' , z ' ) .

Os momentos de inercia do disco com relação ao centroide são dados por:

I z ' = I y ' = 1 12 m l 2

I z ' = I y ' = 1 12 4 0 , 2 2

I z ' = I y ' = 0,01333   k g ⋅ m 2

Por simetria sabemos que I x ' y ' = I y ' z ' = I x ' z ' = 0 .

Temos:

u x ' = cos ⁡ 90 ° = 0

u y ' = cos ⁡ 135 ° = - 0,7071

u z ' = cos ⁡ 45 ° = 0,7071

Temos que:

I O z = I x ' u x ' 2 + I y ' u y ' 2 + I z ' u z ' 2 - 2 I x ' y ' u x ' u y ' - 2 I y ' z ' u y ' u z ' - 2 I x ' z ' u x ' u z '

I O z = 0 + 0,01333 - 0,7071 2 + 0,01333 0,7071 2 - 0 - 0 - 0

I O z = 0,01333   k g ⋅ m 2

I O y = 0,01333 + 4 0,7071 0,2 2

I O y = 0,0933 3   k g ⋅ m 2  

Logo:

ω x = 0

ω y = 90,914

ω z = - 636,340

O centro instaneo de rotação:

u I A = 90,914 j - 636,34 k 90,914 2 + - 636,340 2

u I A = 0,141 j - 0,99 k

A velocidade escalar com relação ao centro de massa é dada por:

v G = ω 3 × r C / O

v G = ( 90,914 j - 636,34 k ) × ( - 0,2 0,7071 k )

v G = - 12,857   m / s

Aplicando o principio do impulso, temos:

m v G 2 + ∑ ∫ F d t = m v G 2

0 - 60 i + + ∑ ∫ F o d t = - 4 12,857

∫ F o d t = 8,57   N ⋅ s

Resposta

∫ F o d t = 8,57   N ⋅ s

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